Κατηγορία: The story of Maths

Ο πολιτισμός των Μάγια είχε εγκατασταθεί στην περιοχή της Κεντρικής Αμερικής περίπου από το 2000 π.Χ., αν και η λεγόμενη Κλασική Περίοδος εκτείνεται από το 250 περίπου έως το 900 μ.Χ. Στην ακμή της, ήταν μια από τις πιο πυκνοκατοικημένες και πολιτιστικά δυναμικές κοινωνίες στον κόσμο.

Η σημασία της αστρονομίας και των ημερολογιακών υπολογισμών στην κοινωνία των Μάγια απαιτούσε μαθηματικά και οι Μάγια κατασκεύασαν πολύ νωρίς ένα πολύ εξελιγμένο σύστημα αριθμών, πιθανώς πιο προηγμένο από οποιοδήποτε άλλο στον κόσμο εκείνη την εποχή (αν και η χρονολόγηση των εξελίξεων είναι αρκετά δύσκολη).

Εικοσαδικό σύστημα – Σύστημα αριθμών βάσης 20

Οι Μάγια και άλλοι μεσοαμερικανικοί πολιτισμοί χρησιμοποίησαν ένα σύστημα μικρών αριθμών βασισμένο στη βάση 20, (και, σε κάποιο βαθμό, στη βάση 5), που πιθανώς αρχικά αναπτύχθηκε από το μέτρημα στα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών. Οι αριθμοί αποτελούνταν μόνο από τρία σύμβολα: μηδέν, που αντιπροσωπεύεται ως σχήμα κελύφους, ένα, μια τελεία και πέντε, μια γραμμή. Έτσι, η πρόσθεση και η αφαίρεση ήταν μια σχετικά απλή υπόθεση πρόσθεσης κουκκίδων και γραμμών. Μετά τον αριθμό 19, μεγαλύτεροι αριθμοί γράφτηκαν σε μια μορφή κατακόρυφης τοποαξίας χρησιμοποιώντας δυνάμεις του 20: 1, 20, 400, 8000, 160000, κ.λπ., αν και στους υπολογισμούς του ημερολογίου τους έδωσαν στην τρίτη θέση την τιμή 360 αντί για 400 (οι υψηλότερες θέσεις επανέρχονται σε πολλαπλάσια του 20).

Μηδέν των Μάγια

Οι προκλασικοί Μάγια και οι γείτονές τους είχαν αναπτύξει ανεξάρτητα την έννοια του μηδέν (μηδέν των Μάγια) τουλάχιστον ήδη από το 36 π.Χ., και έχουμε αποδείξεις ότι δούλευαν με ποσά έως και εκατοντάδες εκατομμύρια, και με ημερομηνίες τόσο μεγάλες που χρειάστηκαν αρκετές γραμμές μόνο για να τις αναπαραστήσουν. Παρόλο που δεν κατείχαν την έννοια του κλάσματος, παρήγαγαν εξαιρετικά ακριβείς αστρονομικές παρατηρήσεις χρησιμοποιώντας μόνο όργανα όπως ραβδιά και ήταν σε θέση να μετρήσουν τη διάρκεια του ηλιακού έτους σε πολύ υψηλότερο βαθμό ακρίβειας από αυτόν που χρησιμοποιήθηκε στην Ευρώπη (οι υπολογισμοί τους παρήγαγαν 365.242 ημέρες, σε σύγκριση με τη σύγχρονη τιμή των 365,242198), καθώς και τη διάρκεια του σεληνιακού μήνα (η εκτίμησή τους ήταν 29,5308 ημέρες, έναντι της σύγχρονης τιμής των 29,53059).

Ωστόσο, λόγω της γεωγραφικής αποσύνδεσης, τα μαθηματικά των Μάγια και των Μεσοαμερικανών δεν είχαν καμία απολύτως επιρροή στα συστήματα αρίθμησης και στα μαθηματικά του Παλαιού Κόσμου (Ευρωπαϊκού και Ασιατικού).

Μέχρι τα μέσα του 1ου αιώνα π.Χ., οι Ρωμαίοι είχαν σφίξει τον έλεγχο της παλαιάς ελληνικής και ελληνιστικής αυτοκρατορίας και η μαθηματική επανάσταση των Ελλήνων είχε σταματήσει. Παρά όλες τις προόδους τους σε άλλα σημεία, δεν σημειώθηκαν μαθηματικές καινοτομίες υπό τη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και δεν υπήρχαν αξιόλογοι μαθηματικοί. Οι Ρωμαίοι δεν είχαν καμία χρησιμότητα για τα καθαρά μαθηματικά, μόνο για τις πρακτικές τους εφαρμογές, και το χριστιανικό καθεστώς που το ακολούθησε (αφού ο Χριστιανισμός έγινε η επίσημη θρησκεία της Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας) ακόμη λιγότερο.

Οι ρωμαϊκοί αριθμοί είναι πολύ γνωστοί σήμερα και ήταν το κυρίαρχο σύστημα αριθμών για το εμπόριο και τη διοίκηση στο μεγαλύτερο μέρος της Ευρώπης. Ήταν δεκαδικό (βάση 10) σύστημα αλλά όχι άμεσα τοποθετημένο και δεν περιλάμβανε μηδέν, έτσι ώστε, για αριθμητικούς και μαθηματικούς σκοπούς, ήταν ένα αδέξιο και αναποτελεσματικό σύστημα. Βασίστηκε σε γράμματα του ρωμαϊκού αλφαβήτου – I, V, X, L, C, D και M – τα οποία συνδυάζονται για να δηλώσουν το άθροισμα των τιμών τους (π.χ. VII = V + I + I = 7).

Αργότερα, υιοθετήθηκε επίσης μια αφαιρετική σημειογραφία, όπου το VIIII, για παράδειγμα, αντικαταστάθηκε από την IX (10 – 1 = 9), η οποία απλοποίησε λίγο τη γραφή των αριθμών, αλλά έκανε τον υπολογισμό ακόμα πιο δύσκολο, απαιτώντας τη μετατροπή της αφαιρετικής σημειογραφίας στην αρχή της μορφή (ενός αθροίσματος). Λόγω της δυσκολίας της γραπτής αριθμητικής με τη χρήση ρωμαϊκών αριθμητικών σημειώσεων, οι υπολογισμοί γίνονταν συνήθως με άβακα, βασισμένοι σε παλαιότερους βαβυλωνιακούς και ελληνικούς άβακες.

Τον 3ο αιώνα π.Χ., στον απόηχο των κατακτήσεων του Μεγάλου Αλεξάνδρου, μαθηματικές ανακαλύψεις άρχισαν επίσης να γίνονται στα όρια της ελληνικής αυτοκρατορίας.

Συγκεκριμένα, η Αλεξάνδρεια στην Αίγυπτο έγινε σπουδαίο κέντρο μάθησης υπό την ευεργετική κυριαρχία των Πτολεμαίων και η περίφημη Βιβλιοθήκη της σύντομα απέκτησε φήμη για να ανταγωνιστεί αυτήν της Αθηναϊκής Ακαδημίας. Οι θαμώνες της Βιβλιοθήκης ήταν αναμφισβήτητα οι πρώτοι επαγγελματίες επιστήμονες που πληρώθηκαν για την αφοσίωσή τους στην έρευνα. Μεταξύ των πιο γνωστών και πιο σημαντικών μαθηματικών που σπούδασαν και δίδαξαν στην Αλεξάνδρεια ήταν ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης, ο Ερατοσθένης, ο Ήρων, ο Μενέλαος και ο Διόφαντος.

Στα τέλη του 4ου και στις αρχές του 3ου αιώνα π.Χ., ο Ευκλείδης ήταν ο μεγάλος χρονικογράφος των μαθηματικών της εποχής και ένας από τους πιο σημαντικούς δασκάλους στην ιστορία. Ουσιαστικά επινόησε την κλασική (Ευκλείδεια) γεωμετρία όπως την ξέρουμε. Ο Αρχιμήδης πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του στις Συρακούσες της Σικελίας, αλλά σπούδασε για λίγο στην Αλεξάνδρεια. Είναι ίσως περισσότερο γνωστός ως μηχανικός και εφευρέτης, αλλά, υπό το φως των πρόσφατων ανακαλύψεων, θεωρείται πλέον ένας από τους μεγαλύτερους καθαρούς μαθηματικούς όλων των εποχών. Ο Ερατοσθένης ο Αλεξανδρινός ήταν σχεδόν σύγχρονος του Αρχιμήδη τον 3ο αιώνα π.Χ. Μαθηματικός, αστρονόμος και γεωγράφος, επινόησε το πρώτο σύστημα γεωγραφικού πλάτους και μήκους και υπολόγισε την περιφέρεια της γης με αξιοσημείωτο βαθμό ακρίβειας. Ως μαθηματικός, η μεγαλύτερη κληρονομιά του είναι ο αλγόριθμος «Κόσκινο του Ερατοσθένη» για την αναγνώριση πρώτων αριθμών.

Σφαιρικό Τρίγωνο

Δεν είναι γνωστό πότε ακριβώς κάηκε η μεγάλη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, αλλά η Αλεξάνδρεια παρέμεινε σημαντικό πνευματικό κέντρο για μερικούς αιώνες. Τον 1ο αιώνα π.Χ., ο Ήρων ήταν ένας άλλος μεγάλος Αλεξανδρινός εφευρέτης, πιο γνωστός στους μαθηματικούς κύκλους για τα Ηρωνιακά τρίγωνα (τρίγωνα με ακέραιες πλευρές και ακέραιο εμβαδόν), τον τύπο του Ήρωνα για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου από τα μήκη των πλευρών του και τη “Μέθοδο του Ήρωνα” για τον επαναληπτικό υπολογισμό μιας τετραγωνικής ρίζας. Ήταν επίσης ο πρώτος μαθηματικός που αντιμετώπισε τουλάχιστον την ιδέα του √-1 (αν και δεν είχε ιδέα πώς να το αντιμετωπίσει, κάτι που έπρεπε να περιμένει τον Tartaglia και τον Cardano τον 16ο αιώνα).

Ο Μενέλαος ο Αλεξανδρεύς, που έζησε τον 1ο – 2ο αιώνα μ.Χ., ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε τη γεωδαισία σε μια καμπύλη επιφάνεια ως τα φυσικά ανάλογα των ευθειών γραμμών σε ένα επίπεδο επίπεδο. Το βιβλίο του «Σφαιρική» ασχολήθηκε με τη γεωμετρία της σφαίρας και την εφαρμογή της σε αστρονομικές μετρήσεις και υπολογισμούς και εισήγαγε την έννοια του σφαιρικού τριγώνου (ένα σχήμα που σχηματίζεται από τρία μεγάλα τόξα κύκλων, τα οποία ονόμασε «τρίπλευρα»).

Τον 3ο αιώνα μ.Χ., ο Διόφαντος από την Αλεξάνδρεια ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε τα κλάσματα ως αριθμούς και θεωρείται πρώιμος καινοτόμος στον τομέα αυτού που αργότερα θα γίνει γνωστό ως άλγεβρα. Εφαρμόστηκε σε μερικά αρκετά πολύπλοκα αλγεβρικά προβλήματα, συμπεριλαμβανομένου αυτού που είναι σήμερα γνωστό ως Διοφαντική Ανάλυση, που ασχολείται με την εύρεση ακέραιων λύσεων σε είδη προβλημάτων που οδηγούν σε εξισώσεις με πολλούς αγνώστους (Διοφαντικές εξισώσεις). Η «Αριθμητική» του Διόφαντου, μια συλλογή προβλημάτων που δίνει αριθμητικές λύσεις τόσο καθορισμένων όσο και απροσδιόριστων εξισώσεων, ήταν το πιο σημαντικό έργο για την άλγεβρα σε όλα τα ελληνικά μαθηματικά και τα προβλήματά του ασκούσαν το μυαλό πολλών από τους καλύτερους μαθηματικούς του κόσμου για μεγάλο μέρος του επόμενου δύο χιλιετίες.

Κωνικές τομές του Απολλώνιου

Όμως η Αλεξάνδρεια δεν ήταν το μόνο κέντρο μάθησης στην ελληνική αυτοκρατορία. Θα πρέπει επίσης να αναφερθεί ο Απολλώνιος ο Περγαίος, του οποίου η εργασία στα τέλη του 3ου αιώνα π.Χ. σχετικά με τη γεωμετρία (και, ειδικότερα, τις κωνικές τομές) είχε μεγάλη επιρροή στους μεταγενέστερους Ευρωπαίους μαθηματικούς. Ήταν ο Απολλώνιος που έδωσε στην έλλειψη, την παραβολή και την υπερβολή τα ονόματα με τα οποία τα γνωρίζουμε και έδειξε πώς θα μπορούσαν να προέρχονται από διαφορετικά τμήματα μέσω ενός κώνου.

Ο Ίππαρχος, ο οποίος ήταν επίσης από την ελληνιστική Ανατολία και έζησε τον 2ο αιώνα π.Χ., ήταν ίσως ο μεγαλύτερος από όλους τους αρχαίους αστρονόμους. Αναβίωσε τη χρήση των αριθμητικών τεχνικών που αναπτύχθηκαν για πρώτη φορά από τους Χαλδαίους και τους Βαβυλώνιους, και συνήθως πιστώνεται με τις απαρχές της τριγωνομετρίας. Υπολόγισε (με αξιοσημείωτη ακρίβεια για την εποχή) την απόσταση της σελήνης από τη γη μετρώντας τα διάφορα μέρη της σελήνης ορατά σε διαφορετικές τοποθεσίες και υπολογίζοντας την απόσταση χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των τριγώνων. Συνέχισε δημιουργώντας τον πρώτο πίνακα συγχορδιών (μήκη πλευρών που αντιστοιχούν σε διαφορετικές γωνίες τριγώνου). Ωστόσο, την εποχή του μεγάλου Αλεξανδρινού αστρονόμου Πτολεμαίου τον 2ο αιώνα μ.Χ., η ελληνική γνώση των αριθμητικών διαδικασιών είχε προχωρήσει στο σημείο που ο Πτολεμαίος μπόρεσε να συμπεριλάβει στην «Αλμαγέστη» έναν πίνακα τριγωνομετρικών χορδών σε κύκλο για βήματα ενός τετάρτου της μοίρας, το οποίο (αν και εκφράζεται στο εξηνταδικό Βαβυλωνιακό σύστημα) είναι ακριβές με περίπου πέντε δεκαδικά ψηφία.

Από τα μέσα του 1ου αιώνα π.Χ. και μετά, ωστόσο, οι Ρωμαίοι είχαν σφίξει τον έλεγχο της παλαιάς ελληνικής αυτοκρατορίας. Οι Ρωμαίοι δεν είχαν κανένα ενδιαφέρον για τα καθαρά μαθηματικά, μόνο για τις πρακτικές τους εφαρμογές, και το χριστιανικό καθεστώς που τα ακολούθησε ακόμη λιγότερο. Το τελευταίο χτύπημα στην ελληνιστική μαθηματική κληρονομιά στην Αλεξάνδρεια μπορεί να φανεί στη φιγούρα της Υπατίας, της πρώτης καταγεγραμμένης γυναίκας μαθηματικού, και μιας διάσημης δασκάλας που είχε γράψει μερικά αξιοσέβαστα σχόλια για τον Διόφαντο και τον Απολλώνιο. Την έσυρε στο θάνατο ο χριστιανικός όχλος το 415 μ.Χ.

Καθώς η ελληνική αυτοκρατορία άρχισε να εξαπλώνει τη σφαίρα επιρροής της στη Μικρά Ασία, τη Μεσοποταμία και όχι μόνο, οι Έλληνες ήταν αρκετά έξυπνοι ώστε να υιοθετήσουν και να προσαρμόσουν χρήσιμα στοιχεία από τις κοινωνίες που κατέκτησαν. Αυτό ίσχυε για τα μαθηματικά τους όσο οτιδήποτε άλλο, και υιοθέτησαν στοιχεία μαθηματικών τόσο από τους Βαβυλώνιους όσο και από τους Αιγύπτιους. Σύντομα όμως άρχισαν να κάνουν σημαντικές συνεισφορές από μόνοι τους και, για πρώτη φορά, μπορούμε να αναγνωρίσουμε τις συνεισφορές μεμονωμένων ατόμων. Μέχρι την ελληνιστική περίοδο, οι Έλληνες είχαν προεδρεύσει σε μια από τις πιο δραματικές και σημαντικές επαναστάσεις στη μαθηματική σκέψη όλων των εποχών.

Αττικοί ή Ηρωδιανικοί αριθμοί

Το αρχαίο ελληνικό αριθμητικό σύστημα, γνωστό ως Αττικοί ή Ηρωδιανικοί αριθμοί, αναπτύχθηκε πλήρως περίπου το 450 π.Χ. και ήταν σε γενική χρήση πιθανώς ήδη από τον 7ο αιώνα π.Χ. Ήταν ένα σύστημα βάσης 10 παρόμοιο με το προηγούμενο αιγυπτιακό (και ακόμη πιο παρόμοιο με το μεταγενέστερο ρωμαϊκό σύστημα), με σύμβολα για 1, 5, 10, 50, 100, 500 και 1.000 επαναλαμβανόμενα όσες φορές χρειαζόταν για να αναπαραστήσουν τον επιθυμητό αριθμό. Η πρόσθεση έγινε αθροίζοντας χωριστά τα σύμβολα (1, 10, 100, κ.λπ.) στους αριθμούς που έπρεπε να προστεθούν και ο πολλαπλασιασμός ήταν μια επίπονη διαδικασία βασισμένη σε διαδοχικούς διπλασιασμούς (η διαίρεση βασίστηκε στο αντίστροφο αυτής της διαδικασίας).

Το θεώρημα του Θαλή

Τα περισσότερα ελληνικά μαθηματικά βασίστηκαν στη γεωμετρία. Ο Θαλής, ένας από τους Επτά Σοφούς της Αρχαίας Ελλάδας, που έζησε στις ακτές του Ιονίου της Μικράς Ασίας το πρώτο μισό του 6ου αιώνα π.Χ., θεωρείται συνήθως ο πρώτος που έθεσε κατευθυντήριες γραμμές για την αφηρημένη ανάπτυξη της γεωμετρίας, αν και αυτό που γνωρίζουμε για το έργο του (όπως για όμοια και ορθογώνια τρίγωνα) φαίνεται τώρα αρκετά στοιχειώδες.

Ο Θαλής καθιέρωσε το θεώρημα σύμφωνα με το οποίο εάν ένα τρίγωνο σχεδιαστεί μέσα σε έναν κύκλο με τη μεγάλη πλευρά ως διάμετρο του κύκλου, τότε η απέναντι γωνία θα είναι πάντα ορθή (καθώς και κάποιες άλλες σχετικές ιδιότητες που προκύπτουν από αυτό). Του πιστώνεται επίσης ένα άλλο θεώρημα, γνωστό ως Θεώρημα του Θαλή, σχετικά με τους λόγους των τμημάτων που δημιουργούνται εάν δύο ευθείες τέμνονται από τρεις παράλληλες.

Σε κάποιο βαθμό, ωστόσο, ο θρύλος του μαθηματικού του 6ου αιώνα π.Χ., Πυθαγόρα του Σάμιου, έχει γίνει συνώνυμος με τη γέννηση των ελληνικών μαθηματικών. Πράγματι, πιστεύεται ότι επινόησε και τις δύο λέξεις «φιλοσοφία» («αγάπη για τη σοφία») και «μαθηματικά» («αυτό που μαθαίνεται»). Ο Πυθαγόρας ήταν ίσως ο πρώτος που συνειδητοποίησε ότι μπορούσε να κατασκευαστεί ένα πλήρες σύστημα μαθηματικών, όπου τα γεωμετρικά στοιχεία αντιστοιχούσαν με αριθμούς. Το Θεώρημα του Πυθαγόρα (ή το Πυθαγόρειο Θεώρημα) είναι ένα από τα πιο γνωστά από όλα τα μαθηματικά θεωρήματα. Παραμένει όμως μια αμφιλεγόμενη φιγούρα, όπως θα δούμε, και τα ελληνικά μαθηματικά σε καμία περίπτωση δεν περιορίζονταν σε έναν άνθρωπο.

Τρία γεωμετρικά προβλήματα

Τρία γεωμετρικά προβλήματα συγκεκριμένα, που συχνά αναφέρονται ως Τρία Κλασικά Προβλήματα, και όλα πρέπει να επιλυθούν με καθαρά γεωμετρικά μέσα χρησιμοποιώντας μόνο μια ευθεία ακμή και έναν διαβήτη, χρονολογούνται από τις πρώτες μέρες της ελληνικής γεωμετρίας: «Ο τετραγωνισμός του κύκλου», «ο διπλασιασμός του κύβου» και «η τριχοτόμιση μιας γωνίας». Αυτά τα προβλήματα είχαν βαθιά επιρροή στη μελλοντική γεωμετρία και οδήγησαν σε πολλές γόνιμες ανακαλύψεις, αν και οι πραγματικές λύσεις τους (ή, όπως αποδείχθηκε, οι αποδείξεις της αδυναμίας τους) έπρεπε να περιμένουν μέχρι τον 19ο αιώνα.

Ο Ιπποκράτης ο Χίος (δεν πρέπει να συγχέεται με τον μεγάλο Έλληνα γιατρό Ιπποκράτη της Κω.) ήταν ένας τέτοιος Έλληνας μαθηματικός που ασχολήθηκε με αυτά τα προβλήματα κατά τον 5ο αιώνα π.Χ. Το έργο του αποτέλεσε σημαντική πηγή για το μεταγενέστερο έργο του Ευκλείδη.

Το Παράδοξο του Ζήνωνα και του Αχιλλέα και της Χελώνας

Οι Έλληνες ήταν αυτοί που πρώτοι καταπιάστηκαν με την ιδέα του απείρου, όπως περιγράφεται στα γνωστά παράδοξα που αποδίδονται στον φιλόσοφο Ζήνωνα από την Ελέα τον 5ο αιώνα π.Χ. Το πιο διάσημο από τα παράδοξά του είναι αυτό του Αχιλλέα και της Χελώνας, που περιγράφει έναν θεωρητικό αγώνα ανάμεσα στον Αχιλλέα και μια χελώνα. Ο Αχιλλέας δίνει στην πολύ πιο αργή χελώνα ένα προβάδισμα, αλλά όταν ο Αχιλλέας φτάσει στο σημείο εκκίνησης της χελώνας, η χελώνα έχει ήδη προχωρήσει. Μέχρι να φτάσει ο Αχιλλέας σε αυτό το σημείο, η χελώνα έχει προχωρήσει ξανά, κτλ, κτλ, έτσι ώστε κατ ‘αρχήν ο γρήγορος Αχιλλέας δεν μπορεί ποτέ να προλάβει την αργή χελώνα.

Παράδοξα όπως αυτό και το λεγόμενο Παράδοξο Διχοτομίας του Ζήνωνα βασίζονται στην άπειρη διαιρετότητα του χώρου και του χρόνου και βασίζονται στην ιδέα ότι το μισό συν ένα τέταρτο συν ένα όγδοο συν ένα δέκατο έκτο, κλπ, κλπ, στο άπειρο ίσον με ένα. Το παράδοξο, ωστόσο, πηγάζει από την εσφαλμένη υπόθεση ότι είναι αδύνατο να συμπληρωθεί ένας άπειρος αριθμός διακριτών στοιχείων σε πεπερασμένο χρόνο, αν και είναι εξαιρετικά δύσκολο να αποδειχθεί το παράδοξο. Ο αρχαίος Έλληνας Αριστοτέλης ήταν ο πρώτος από πολλούς που προσπάθησε να διαψεύσει τα παράδοξα, ιδιαίτερα καθώς πίστευε ακράδαντα ότι το άπειρο θα μπορούσε να είναι μόνο δυνητικό και όχι πραγματικό.

Ο Δημόκριτος, ο πιο διάσημος για τις προφητείες του σχετικά με το ότι όλη η ύλη αποτελείται από μικροσκοπικά άτομα, ήταν επίσης πρωτοπόρος των μαθηματικών και της γεωμετρίας τον 5ο – 4ο αιώνα π.Χ., και δημιούργησε έργα με τίτλους όπως «Περί αριθμών», «Γεωμετρία», αν και αυτά τα έργα δεν έχουν διασωθεί. Γνωρίζουμε ότι ήταν από τους πρώτους που παρατήρησαν ότι ένας κώνος (ή πυραμίδα) έχει το ένα τρίτο του όγκου ενός κυλίνδρου (ή πρίσματος) με την ίδια βάση και ύψος, και είναι ίσως ο πρώτος που σκέφτηκε σοβαρά τη διαίρεση αντικειμένων σε άπειρο αριθμό διατομών.

Ωστόσο, είναι βέβαιο ότι ο Πυθαγόρας επηρέασε ιδιαίτερα αυτούς που ακολούθησαν, συμπεριλαμβανομένου του Πλάτωνα, ο οποίος ίδρυσε την περίφημη Ακαδημία του στην Αθήνα το 387 π.Χ., και τον προστατευόμενό του Αριστοτέλη, του οποίου το έργο στη λογική θεωρήθηκε οριστικό για πάνω από δύο χιλιάδες χρόνια. Ο Πλάτωνας είναι περισσότερο γνωστός για την περιγραφή των πέντε πλατωνικών στερεών, αλλά η αξία του έργου του ως δάσκαλου και εκλαϊκευτή των μαθηματικών δεν μπορεί να υπερεκτιμηθεί.

Ο μαθητής του Πλάτωνα, Εύδοξος, πιστώνεται συνήθως με την πρώτη εφαρμογή της «μεθόδου εξάντλησης» (αργότερα αναπτύχθηκε από τον Αρχιμήδη), μια πρώιμη μέθοδο ολοκλήρωσης με διαδοχικές προσεγγίσεις που χρησιμοποίησε για τον υπολογισμό του όγκου της πυραμίδας και του κώνου. Ανέπτυξε επίσης μια γενική θεωρία αναλογίας, η οποία ήταν εφαρμόσιμη σε ασύμμετρα (παράλογα) μεγέθη που δεν μπορούν να εκφραστούν ως λόγος δύο ακέραιων αριθμών, καθώς και σε συγκρίσιμα (ορθολογικά) μεγέθη, επεκτείνοντας έτσι τις ημιτελείς ιδέες του Πυθαγόρα.

Ίσως η πιο σημαντική μεμονωμένη συνεισφορά των Ελλήνων ήταν η ιδέα της απόδειξης και η επαγωγική μέθοδος χρήσης λογικών βημάτων για την απόδειξη ή την απόρριψη θεωρημάτων από αρχικά υποτιθέμενα αξιώματα. Παλαιότεροι πολιτισμοί, όπως οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι, βασίζονταν σε επαγωγικό συλλογισμό, που χρησιμοποιεί επαναλαμβανόμενες παρατηρήσεις για να καθορίσουν εμπειρικούς κανόνες. Αυτή η έννοια της απόδειξης είναι που δίνει στα μαθηματικά τη δύναμή τους και διασφαλίζει ότι οι αποδεδειγμένες θεωρίες είναι τόσο αληθινές σήμερα όσο πριν από δύο χιλιάδες χρόνια, και που έθεσε τα θεμέλια για τη συστηματική προσέγγιση των μαθηματικών του Ευκλείδη και όσων ήρθαν μετά από αυτόν.

Οι πρώτοι Αιγύπτιοι εγκαταστάθηκαν κατά μήκος της εύφορης κοιλάδας του Νείλου περίπου το 6000 π.Χ. και άρχισαν να καταγράφουν τα μοτίβα των σεληνιακών φάσεων και των εποχών, τόσο για γεωργικούς όσο και για θρησκευτικούς λόγους.

Οι επιθεωρητές του Φαραώ χρησιμοποίησαν μετρήσεις με βάση τα μέρη του σώματος (μια παλάμη ήταν το πλάτος του χεριού, μια πήχη η μέτρηση από τον αγκώνα μέχρι τα δάχτυλα) για να μετρήσουν τη γη και τα κτίρια πολύ νωρίς στην αιγυπτιακή ιστορία, και ένα δεκαδικό αριθμητικό σύστημα αναπτύχθηκε με βάση τα δέκα μας δάχτυλα. Ωστόσο, το παλαιότερο μαθηματικό κείμενο από την αρχαία Αίγυπτο που έχει ανακαλυφθεί μέχρι στιγμής, είναι ο Πάπυρος της Μόσχας, ο οποίος χρονολογείται από το Αιγυπτιακό Μέσο Βασίλειο περίπου το 2000 – 1800 π.Χ.

Αρχαίο Αιγυπτιακό Αριθμητικό Σύστημα

Θεωρείται ότι οι Αιγύπτιοι εισήγαγαν το αρχαιότερο πλήρως ανεπτυγμένο σύστημα αρίθμησης βάσης 10 τουλάχιστον ήδη από το 2700 π.Χ. (και πιθανώς πολύ νωρίς). Οι γραπτοί αριθμοί χρησιμοποίησαν μια κάθετη γραμμή για τις μονάδες, ένα πέταλο για δεκάδες, μια σπείρα για εκατοντάδες και ένα φυτό λωτού για χιλιάδες, καθώς και άλλα ιερογλυφικά σύμβολα για υψηλότερες δυνάμεις από δέκα έως και ένα εκατομμύριο.

Ωστόσο, δεν υπήρχε η έννοια της αξίας θέσης, επομένως οι μεγαλύτεροι αριθμοί ήταν μάλλον δύσχρηστοι (αν και ένα εκατομμύριο απαιτούσε μόνο έναν χαρακτήρα, ένα εκατομμύριο μείον ένα απαιτούσε πενήντα τέσσερις χαρακτήρες).
Ο πάπυρος Rhind, που χρονολογείται γύρω στο 1650 π.Χ., είναι ένα είδος εγχειριδίου οδηγιών στην αριθμητική και τη γεωμετρία, και μας δίνει σαφείς επιδείξεις για το πώς γινόταν ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση εκείνη την εποχή. Περιέχει επίσης στοιχεία για άλλες μαθηματικές γνώσεις, συμπεριλαμβανομένων κλασμάτων μονάδας, σύνθετων και πρώτων αριθμών, αριθμητικών, γεωμετρικών και αρμονικών μέσων και πώς να λύσετε γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης καθώς και αριθμητικές και γεωμετρικές σειρές. Ο Πάπυρος του Βερολίνου, που χρονολογείται γύρω στο 1300 π.Χ., δείχνει ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι μπορούσαν να λύσουν αλγεβρικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού.

Ο πολλαπλασιασμός, για παράδειγμα, επιτεύχθηκε με μια διαδικασία επαναλαμβανόμενου διπλασιασμού του αριθμού που πρέπει να πολλαπλασιαστεί στη μία πλευρά και του ενός στην άλλη, ουσιαστικά ένα είδος πολλαπλασιασμού δυαδικών παραγόντων παρόμοιων με αυτόν που χρησιμοποιείται από σύγχρονους υπολογιστές. Αυτό χρησιμοποίησε αποτελεσματικά την έννοια των δυαδικών αριθμών, πάνω από 3.000 χρόνια πριν τον εισαγάγει ο Leibniz στη Δύση, και πολλά ακόμη χρόνια πριν η ανάπτυξη του υπολογιστή ήταν να εξερευνήσει πλήρως τις δυνατότητές του.

Τα πρακτικά προβλήματα του εμπορίου και της αγοράς οδήγησαν στην ανάπτυξη μιας σημειογραφίας για τα κλάσματα. Οι πάπυροι που μας έχουν φτάσει καταδεικνύουν τη χρήση μοναδιαίων κλασμάτων με βάση το σύμβολο του ματιού του Ώρου, όπου κάθε μέρος του ματιού αντιπροσώπευε ένα διαφορετικό κλάσμα, κάθε μισό του προηγούμενου (δηλαδή μισό, τέταρτο, όγδοο, δέκατο έκτο , τριάντα δεύτερο, εξήντα τέταρτο), έτσι ώστε το σύνολο ήταν ένα εξήντα τέταρτο λιγότερο από ένα σύνολο, το πρώτο γνωστό παράδειγμα μιας γεωμετρικής σειράς.

Τα μοναδιαία κλάσματα θα μπορούσαν επίσης να χρησιμοποιηθούν για απλά αθροίσματα διαίρεσης. Για παράδειγμα, αν χρειαζόταν να χωρίσουν 3 ψωμιά σε 5 άτομα, θα χώριζαν πρώτα δύο από τα ψωμιά σε τρίτα και το τρίτο καρβέλι σε πέμπτα, μετά θα χώριζαν το υπόλοιπο ένα τρίτο από το δεύτερο καρβέλι σε πέντε κομμάτια. Έτσι, κάθε άτομο θα λάμβανε το ένα τρίτο συν ένα πέμπτο συν ένα δέκατο πέμπτο (το οποίο είναι συνολικά τρία πέμπτα, όπως θα περιμέναμε).

Οι Αιγύπτιοι προσέγγισαν το εμβαδόν ενός κύκλου χρησιμοποιώντας σχήματα των οποίων το εμβαδόν γνώριζαν. Παρατήρησαν ότι το εμβαδόν ενός κύκλου διαμέτρου 9 μονάδων, για παράδειγμα, ήταν πολύ κοντά στο εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρές 8 μονάδων, έτσι ώστε το εμβαδόν των κύκλων άλλων διαμέτρων μπορούσε να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας τη διάμετρο επί 8⁄ 9 και στη συνέχεια τετραγωνίζοντας το. Αυτό δίνει μια αποτελεσματική προσέγγιση του π ακριβείας σε λιγότερο από ένα τοις εκατό.

Οι ίδιες οι πυραμίδες είναι μια άλλη ένδειξη της πολυπλοκότητας των αιγυπτιακών μαθηματικών. Παραμερίζοντας τους ισχυρισμούς ότι οι πυραμίδες είναι οι πρώτες γνωστές δομές που παρατηρούν τη χρυσή αναλογία 1:1.618 (η οποία μπορεί να συνέβη για καθαρά αισθητικούς και όχι μαθηματικούς λόγους), υπάρχουν σίγουρα στοιχεία ότι γνώριζαν τον τύπο για τον όγκο μιας πυραμίδας – 1⁄3 φορές το ύψος επί το μήκος επί το πλάτος – καθώς και μιας κόλουρης ή κομμένης πυραμίδας.

Γνώριζαν επίσης, πολύ πριν από τον Πυθαγόρα, τον κανόνα ότι ένα τρίγωνο με πλευρές 3, 4 και 5 μονάδες δίνει τέλεια ορθή γωνία, και οι Αιγύπτιοι οικοδόμοι χρησιμοποιούσαν σχοινιά δεμένα με κόμπους σε διαστήματα 3, 4 και 5 μονάδων για να εξασφαλίσουν την ακριβή ορθή γωνία. γωνίες για την λιθοδομή τους (στην πραγματικότητα, το ορθογώνιο τρίγωνο 3-4-5 ονομάζεται συχνά «αιγυπτιακό»).

Το Σουμέρ (περιοχή της Μεσοποταμίας, το σύγχρονο Ιράκ) ήταν η γενέτειρα της γραφής, του τροχού, της γεωργίας, της αψίδας, του άροτρου, της άρδευσης και πολλών άλλων καινοτομιών, και συχνά αναφέρεται ως το λίκνο του πολιτισμού. Οι Σουμέριοι ανέπτυξαν το παλαιότερο γνωστό σύστημα γραφής – ένα εικονογραφικό σύστημα γραφής γνωστό ως σφηνοειδή γραφή, χρησιμοποιώντας σφηνοειδείς χαρακτήρες εγγεγραμμένους σε ψημένες πήλινες πλάκες – και αυτό σημαίνει ότι έχουμε στην πραγματικότητα περισσότερη γνώση των αρχαίων Σουμερίων και Βαβυλωνιακών μαθηματικών παρά των πρώιμων αιγυπτιακών μαθηματικών. Πράγματι, έχουμε ακόμη και αυτό που φαίνεται να είναι σχολικές ασκήσεις σε αριθμητικά και γεωμετρικά προβλήματα.

Όπως και στην Αίγυπτο, τα Σουμεριακά μαθηματικά αναπτύχθηκαν αρχικά σε μεγάλο βαθμό ως απάντηση στις γραφειοκρατικές ανάγκες, όταν εγκαταστάθηκε ο πολιτισμός τους και ανέπτυξε τη γεωργία (πιθανώς ήδη από την 6η χιλιετία π.Χ.) για τη μέτρηση των οικοπέδων, τη φορολόγηση των ατόμων κ.λπ. οι Σουμέριοι και οι Βαβυλώνιοι χρειαζόταν να περιγράψουν αρκετά μεγάλους αριθμούς καθώς προσπαθούσαν να χαράξουν την πορεία του νυχτερινού ουρανού και να αναπτύξουν το εξελιγμένο σεληνιακό τους ημερολόγιο.

Ήταν ίσως οι πρώτοι άνθρωποι που ανέθεσαν σύμβολα σε ομάδες αντικειμένων σε μια προσπάθεια να κάνουν την περιγραφή μεγαλύτερων αριθμών ευκολότερη. Μεταπήδησαν από τη χρήση ξεχωριστών σημείων ή συμβόλων για να αναπαραστήσουν στάχυα σιταριού, βάζα με λάδι κ.λπ., στην πιο αφηρημένη χρήση ενός συμβόλου για συγκεκριμένους αριθμούς.
Ξεκινώντας ήδη από την 4η χιλιετία π.Χ., άρχισαν να χρησιμοποιούν έναν μικρό πήλινο κώνο για να αναπαραστήσουν το ένα, μια πήλινη μπάλα για το δέκα και έναν μεγάλο κώνο για το εξήντα. Κατά τη διάρκεια της τρίτης χιλιετίας, αυτά τα αντικείμενα αντικαταστάθηκαν από ισοδύναμα σφηνοειδούς γραφής, έτσι ώστε οι αριθμοί να μπορούν να γράφονται με την ίδια γραφίδα που χρησιμοποιούνταν για τις λέξεις του κειμένου. Ένα στοιχειώδες μοντέλο του άβακα ήταν πιθανώς σε χρήση στη Σουμερία ήδη από το 2700 – 2300 π.Χ.

Σύστημα Αριθμών Σουμερίων και Βαβυλωνίων: Βάση 60

Τα Σουμεριακά και Βαβυλωνιακά μαθηματικά βασίστηκαν σε ένα εξηνταδικό (με βάση το 60), αριθμητικό σύστημα, το οποίο μπορούσε να μετρηθεί φυσικά χρησιμοποιώντας τις δώδεκα αρθρώσεις από το ένα χέρι και τα πέντε δάχτυλα από την άλλη. Σε αντίθεση με εκείνους των Αιγυπτίων, των Ελλήνων και των Ρωμαίων, οι Βαβυλωνιακοί αριθμοί χρησιμοποιούσαν ένα πραγματικό σύστημα τοποαξίας, όπου τα ψηφία που γράφονταν στην αριστερή στήλη αντιπροσώπευαν μεγαλύτερες τιμές, όπως στο σύγχρονο δεκαδικό σύστημα, αν και φυσικά χρησιμοποιούν τη βάση 60 όχι τη βάση 10. Έτσι, ο αριθμός στο Βαβυλωνιακό σύστημα αντιπροσώπευε 3.600 συν 60 συν 1, ή 3.661. Επίσης, για την αναπαράσταση των αριθμών 1 – 59 σε κάθε τοποαξία, χρησιμοποιήθηκαν δύο διακριτά σύμβολα, ένα σύμβολο μονάδας () και ένα σύμβολο δέκα () που συνδυάστηκαν με παρόμοιο τρόπο με το γνωστό σύστημα των ρωμαϊκών αριθμών ( π.χ. το 23 θα εμφανιζόταν ως ). Έτσι, ο αριθμός αντιπροσωπεύει το 60 συν 23, ή το 83. Ωστόσο, ο αριθμός 60 αντιπροσωπευόταν με το ίδιο σύμβολο με τον αριθμό 1 και, επειδή τους έλειπε το ισοδύναμο της υποδιαστολής, η πραγματική θέση ενός συμβόλου έπρεπε να γίνει αντιληπτή από τα συμφραζόμενα.

Έχει υποτεθεί ότι η πρόοδος της Βαβυλωνίας στα μαθηματικά διευκολύνθηκε πιθανώς από το γεγονός ότι το 60 έχει πολλούς διαιρέτες (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 και 60 – στην πραγματικότητα, το 60 είναι ο μικρότερος ακέραιος που διαιρείται με όλους τους ακέραιους αριθμούς από το 1 έως το 6) και η συνεχιζόμενη σύγχρονη χρήση των 60 δευτερολέπτων σε ένα λεπτό, 60 λεπτών σε μια ώρα και 360 (60 x 6) μοιρών σε έναν κύκλο, είναι όλα μαρτυρίες το αρχαίο βαβυλωνιακό σύστημα. Είναι για παρόμοιους λόγους που το 12 (το οποίο έχει διαιρέτες 1, 2, 3, 4 και 6) ήταν τόσο δημοφιλές πολλαπλάσιο ιστορικά (π.χ. 12 μήνες, 12 ίντσες, 12 πένες, 2 x 12 ώρες, κ.λπ.).

Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν επίσης μια άλλη επαναστατική μαθηματική έννοια, κάτι άλλο που δεν είχαν οι Αιγύπτιοι, οι Έλληνες και οι Ρωμαίοι, έναν κυκλικό χαρακτήρα για το μηδέν, αν και το σύμβολό του ήταν στην πραγματικότητα περισσότερο ένα σύμβολο θέσης παρά ένας αριθμός από μόνος του.

Βαβυλωνιακά πήλινα δισκία

Έχουμε στοιχεία για την ανάπτυξη ενός πολύπλοκου συστήματος μετρολογίας στο Σούμερ από περίπου το 3000 π.Χ., και πίνακες πολλαπλασιασμού και μοιρασιάς (διαίρεσης), πίνακες τετραγώνων, τετραγωνικών ριζών και κυβικών ριζών, γεωμετρικών ασκήσεων και προβλημάτων διαίρεσης από περίπου το 2600 π.Χ. και μετά. Οι μεταγενέστερες βαβυλωνιακές πινακίδες που χρονολογούνται από το 1800 έως το 1600 περίπου π.Χ. καλύπτουν θέματα τόσο ποικίλα όπως κλάσματα, άλγεβρα, μεθόδους επίλυσης γραμμικών, τετραγωνικών, ακόμη και μερικών κυβικών εξισώσεων, και τον υπολογισμό κανονικών αμοιβαίων ζευγών (ζεύγη αριθμών που πολλαπλασιάζονται μαζί για να δώσουν το 60). Μια βαβυλωνιακή ταμπλέτα δίνει μια προσέγγιση για το √2 με ακρίβεια έως πέντε δεκαδικών ψηφίων. Άλλες πινακίδες, απαριθμούν τα τετράγωνα των αριθμών μέχρι το 59, τους κύβους των αριθμών μέχρι το 32 καθώς και πίνακες σύνθετου ενδιαφέροντος. Άλλη μια, δίνει μια εκτίμηση για το π=3 1/8=3.125, μια καλή προσέγγιση της πραγματικής τιμής του 3.1416.

Η ιδέα των τετραγωνικών αριθμών και των δευτεροβάθμιων εξισώσεων (όπου η άγνωστη ποσότητα πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό της) προέκυψε φυσικά στο πλαίσιο της μέτρησης της γης, και οι βαβυλωνιακές μαθηματικές ταμπλέτες μας δίνουν την πρώτη απόδειξη της επίλυσης των δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Η βαβυλωνιακή προσέγγιση για την επίλυσή τους περιστρέφεται συνήθως γύρω από ένα είδος γεωμετρικού παιχνιδιού τεμαχισμού και αναδιάταξης σχημάτων, αν και εμφανίζεται επίσης η χρήση άλγεβρας και δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν γεωμετρικά σχήματα στα κτίρια και το σχέδιό τους και σε ζάρια για τα ψυχαγωγικά παιχνίδια που ήταν τόσο δημοφιλή στην κοινωνία τους, όπως το αρχαίο παιχνίδι του τάβλι. Η γεωμετρία τους επεκτάθηκε στον υπολογισμό των εμβαδών των ορθογωνίων, τριγώνων και τραπεζοειδών, καθώς και των όγκων απλών σχημάτων όπως τούβλων και κυλίνδρων (αν και όχι πυραμίδων).

Πήλινη ταμπλέτα Plimpton 322

Η περίφημη και αμφιλεγόμενη πήλινη πινακίδα Plimpton 322, που πιστεύεται ότι χρονολογείται γύρω στο 1800 π.Χ., υποδηλώνει ότι οι Βαβυλώνιοι μπορεί κάλλιστα να γνώριζαν το μυστικό των ορθογώνιων τριγώνων (ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα του τετραγώνου των άλλων δύο πλευρών) πολλούς αιώνες πριν τον Έλληνα Πυθαγόρα. Η ταμπλέτα φαίνεται να απαριθμεί 15 τέλεια πυθαγόρεια τρίγωνα με πλευρές ακέραιους αριθμούς, αν και ορισμένοι ισχυρίζονται ότι ήταν απλώς ακαδημαϊκές ασκήσεις και όχι σκόπιμες εκδηλώσεις των Πυθαγόρειων τριάδων.

Οι προϊστορικοί μας πρόγονοι θα είχαν μια γενική αίσθηση για τις ποσότητες και θα γνώριζαν ενστικτωδώς τη διαφορά μεταξύ, ας πούμε, μιας και δύο αντιλόπες. Αλλά το διανοητικό άλμα από τη συγκεκριμένη ιδέα δύο πραγμάτων στην εφεύρεση ενός συμβόλου ή μιας λέξης για την αφηρημένη ιδέα του «δύο» χρειάστηκε πολύ καιρό για να προκύψει.

Ακόμη και σήμερα, υπάρχουν μεμονωμένες φυλές κυνηγών – τροφοσυλλεκτών στην Αμαζονία που έχουν λέξεις μόνο για «ένα», «δύο» και «πολλά», και άλλες που έχουν λέξεις μόνο για αριθμούς μέχρι το πέντε. Ελλείψει εγκατεστημένης γεωργίας και εμπορίου, υπάρχει μικρή ανάγκη για ένα επίσημο σύστημα αριθμών.

Ο πρώτος άνθρωπος παρακολουθούσε τακτικά συμβάντα όπως οι φάσεις της σελήνης και οι εποχές. Μερικές από τις πρώτες ενδείξεις ότι η ανθρωπότητα σκέφτεται τους αριθμούς είναι από οδοντωτά οστά στην Αφρική που χρονολογούνται από 35.000 έως 20.000 χρόνια πριν. Αλλά αυτό είναι στην πραγματικότητα απλώς μέτρηση και καταμέτρηση παρά μαθηματικά.

Οι προδυναστικοί Αιγύπτιοι και Σουμέριοι αντιπροσώπευαν γεωμετρικά σχέδια στα τεχνουργήματά τους ήδη από την 5η χιλιετία π.Χ., όπως και ορισμένες μεγαλιθικές κοινωνίες στη βόρεια Ευρώπη την 3η χιλιετία π.Χ. ή πριν. Αλλά αυτό είναι περισσότερο τέχνη και διακόσμηση παρά η συστηματική επεξεργασία μορφών, σχεδίων, μορφών και ποσοτήτων που έχει καταλήξει να θεωρείται ως μαθηματικά.

Τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν αρχικά σε μεγάλο βαθμό ως απάντηση στις γραφειοκρατικές ανάγκες όταν οι πολιτισμοί εγκαταστάθηκαν και ανέπτυξαν τη γεωργία – για τη μέτρηση των οικοπέδων, τη φορολογία των ατόμων, κ.λπ. – και αυτό συνέβη για πρώτη φορά στους Σουμερίους και Βαβυλωνιακούς πολιτισμούς της Μεσοποταμίας (περίπου στο σύγχρονο Ιράκ) και στην αρχαία Αίγυπτο.

Σύμφωνα με ορισμένες αρχές, υπάρχουν στοιχεία για βασικές αριθμητικές και γεωμετρικές σημειώσεις στα βραχογραφήματα στους ταφικούς τύμβους Knowth και Newgrange στην Ιρλανδία (που χρονολογούνται περίπου από το 3500 π.Χ. και το 3200 π.Χ. αντίστοιχα). Αυτά χρησιμοποιούν μια επαναλαμβανόμενη ζιγκ-ζαγκ γλυφή για την καταμέτρηση, ένα σύστημα που συνέχισε να χρησιμοποιείται στη Βρετανία και την Ιρλανδία μέχρι την 1η χιλιετία π.Χ.

Το Stonehenge, ένα τελετουργικό και αστρονομικό μνημείο της νεολιθικής εποχής στην Αγγλία, που χρονολογείται περίπου από το 2300 π.Χ., παρουσιάζει επίσης παραδείγματα χρήσης του 60 και του 360 στις μετρήσεις του κύκλου, μια πρακτική που αναπτύχθηκε πιθανώς εντελώς ανεξάρτητα από το εξηνταδικό σύστημα μέτρησης των αρχαίων Σουμερίων και Βαβυλωνίων.