Μαθηματικά των Μάγια

Ο πολιτισμός των Μάγια είχε εγκατασταθεί στην περιοχή της Κεντρικής Αμερικής περίπου από το 2000 π.Χ., αν και η λεγόμενη Κλασική Περίοδος εκτείνεται από το 250 περίπου έως το 900 μ.Χ. Στην ακμή της, ήταν μια από τις πιο πυκνοκατοικημένες και πολιτιστικά δυναμικές κοινωνίες στον κόσμο.

Η σημασία της αστρονομίας και των ημερολογιακών υπολογισμών στην κοινωνία των Μάγια απαιτούσε μαθηματικά και οι Μάγια κατασκεύασαν πολύ νωρίς ένα πολύ εξελιγμένο σύστημα αριθμών, πιθανώς πιο προηγμένο από οποιοδήποτε άλλο στον κόσμο εκείνη την εποχή (αν και η χρονολόγηση των εξελίξεων είναι αρκετά δύσκολη).

Εικοσαδικό σύστημα – Σύστημα αριθμών βάσης 20

Οι Μάγια και άλλοι μεσοαμερικανικοί πολιτισμοί χρησιμοποίησαν ένα σύστημα μικρών αριθμών βασισμένο στη βάση 20, (και, σε κάποιο βαθμό, στη βάση 5), που πιθανώς αρχικά αναπτύχθηκε από το μέτρημα στα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών. Οι αριθμοί αποτελούνταν μόνο από τρία σύμβολα: μηδέν, που αντιπροσωπεύεται ως σχήμα κελύφους, ένα, μια τελεία και πέντε, μια γραμμή. Έτσι, η πρόσθεση και η αφαίρεση ήταν μια σχετικά απλή υπόθεση πρόσθεσης κουκκίδων και γραμμών. Μετά τον αριθμό 19, μεγαλύτεροι αριθμοί γράφτηκαν σε μια μορφή κατακόρυφης τοποαξίας χρησιμοποιώντας δυνάμεις του 20: 1, 20, 400, 8000, 160000, κ.λπ., αν και στους υπολογισμούς του ημερολογίου τους έδωσαν στην τρίτη θέση την τιμή 360 αντί για 400 (οι υψηλότερες θέσεις επανέρχονται σε πολλαπλάσια του 20).

Μηδέν των Μάγια

Οι προκλασικοί Μάγια και οι γείτονές τους είχαν αναπτύξει ανεξάρτητα την έννοια του μηδέν (μηδέν των Μάγια) τουλάχιστον ήδη από το 36 π.Χ., και έχουμε αποδείξεις ότι δούλευαν με ποσά έως και εκατοντάδες εκατομμύρια, και με ημερομηνίες τόσο μεγάλες που χρειάστηκαν αρκετές γραμμές μόνο για να τις αναπαραστήσουν. Παρόλο που δεν κατείχαν την έννοια του κλάσματος, παρήγαγαν εξαιρετικά ακριβείς αστρονομικές παρατηρήσεις χρησιμοποιώντας μόνο όργανα όπως ραβδιά και ήταν σε θέση να μετρήσουν τη διάρκεια του ηλιακού έτους σε πολύ υψηλότερο βαθμό ακρίβειας από αυτόν που χρησιμοποιήθηκε στην Ευρώπη (οι υπολογισμοί τους παρήγαγαν 365.242 ημέρες, σε σύγκριση με τη σύγχρονη τιμή των 365,242198), καθώς και τη διάρκεια του σεληνιακού μήνα (η εκτίμησή τους ήταν 29,5308 ημέρες, έναντι της σύγχρονης τιμής των 29,53059).

Ωστόσο, λόγω της γεωγραφικής αποσύνδεσης, τα μαθηματικά των Μάγια και των Μεσοαμερικανών δεν είχαν καμία απολύτως επιρροή στα συστήματα αρίθμησης και στα μαθηματικά του Παλαιού Κόσμου (Ευρωπαϊκού και Ασιατικού).

Καρλ Φρίντριχ Γκάους

Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους, ο «Πρίγκιπας των Μαθηματικών», έδειξε τις υπολογιστικές του δυνάμεις όταν διόρθωσε την αριθμητική του πατέρα του πριν από την ηλικία των τριών ετών. Η επαναστατική του φύση φάνηκε σε ηλικία δώδεκα ετών, όταν άρχισε να αμφισβητεί τα αξιώματα του Ευκλείδη. Η ιδιοφυΐα του επιβεβαιώθηκε σε ηλικία δεκαεννέα ετών, όταν απέδειξε ότι το κανονικό n-γωνο ήταν κατασκευάσιμο αν και μόνο αν είναι το γινόμενο διακριτών πρώτων αριθμών Fermat. (Δεν ολοκλήρωσε την απόδειξη του). Επίσης, σε ηλικία 19 ετών, απέδειξε την εικασία του Fermat ότι κάθε αριθμός είναι το άθροισμα τριών τριγωνικών αριθμών. (Περαιτέρω προσδιόρισε τον αριθμό των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους θα μπορούσε να σχηματιστεί ένα τέτοιο άθροισμα). Σε ηλικία 24 ετών δημοσίευσε το Disquisitiones Arithmeticae, πιθανώς το μεγαλύτερο βιβλίο καθαρών μαθηματικών ποτέ.

Παρόλο που δημοσίευσε λιγότερες εργασίες από μερικούς άλλους σπουδαίους μαθηματικούς, ο Γκάους μπορεί να είναι ο μεγαλύτερος “αποδεδείκτης” θεωρημάτων. Πολλά σημαντικά θεωρήματα και λήμματα φέρουν το όνομά του. Η απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Αριθμητικής του Ευκλείδη (Μοναδική Πρωταρχική Παραγοντοποίηση) θεωρείται η πρώτη αυστηρή απόδειξη. επέκτεινε αυτό το Θεώρημα στους Γκαουσιανούς (σύνθετους) ακέραιους αριθμούς. και ήταν ο πρώτος που παρήγαγε μια αυστηρή απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας (ότι ένα πολυώνυμο ν-ου βαθμού έχει n μιγαδικές ρίζες). Το Theorema Egregium (“Σημαντικό Θεώρημα”) ότι η ουσιαστική καμπυλότητα μιας επιφάνειας που προέρχεται από τη δισδιάστατη γεωμετρία της έθεσε τα θεμέλια της διαφορικής γεωμετρίας. Ο ίδιος ο Gauss χρησιμοποίησε το “Θεμελιώδες Θεώρημα” για να αναφερθεί στο Νόμο του Euler για την Τετραγωνική Αμοιβαιότητα. Ο Gauss ήταν ο πρώτος που παρείχε μια απόδειξη για αυτό και παρείχε οκτώ διακριτές αποδείξεις για αυτό με τα χρόνια. (Αυτό το θεώρημα είναι τόσο ιδιαίτερο που έχει περισσότερες δημοσιευμένες αποδείξεις από οποιοδήποτε άλλο θεώρημα εκτός από το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ο Eisenstein, ο Kummer, ο Cauchy, ο Jacobi, ο Liouville και ο Lebesgue ανακάλυψαν καινούριες αποδείξεις του νόμου της τετραγωνικής αμοιβαιότητας). Ο Gauss απέδειξε την n= 3 περίπτωση του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά για ακέραιους αριθμούς του Αϊζενστάιν (τα τριγωνικά σημεία πλέγματος στο μιγαδικό επίπεδο). Αν και πιο γενική, η απόδειξη του Gauss ήταν απλούστερη. Αυτή η μέθοδος απλοποίησης έφερε επανάσταση στην άλγεβρα. Βρήκε επίσης μια απλούστερη απόδειξη για το Θεώρημα των Χριστουγέννων του Φερμά, εκμεταλλευόμενος την ταυτότητα x2+y2 = (x + iy)(x – iy). Άλλες εργασίες του Gauss οδήγησαν σε θεμελιώδη θεωρήματα στη στατιστική, την ανάλυση διανυσμάτων, τη θεωρία συναρτήσεων και γενικεύσεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Λογισμού.

Ο Γκάους δημιούργησε τη θεωρία των μιγαδικών αριθμών στη σύγχρονη μορφή της, συμπεριλαμβανομένης της έννοιας των «μονογονικών» συναρτήσεων που είναι πλέον πανταχού παρούσες στη μαθηματική φυσική. (Η κατασκευή του κανονικού 17-γωνου ως έφηβος ήταν στην πραγματικότητα μια άσκηση στην άλγεβρα μιγαδικών αριθμών, όχι στη γεωμετρία). Ο Γκάους έγινε ο κορυφαίος της θεωρίας αριθμών όλων των εποχών. Άλλες συνεισφορές του Gauss περιλαμβάνουν υπεργεωμετρικές σειρές, θεμέλια στατιστικής και διαφορική γεωμετρία. Έκανε επίσης σημαντικό έργο στη γεωμετρία, παρέχοντας μια βελτιωμένη λύση στο περίφημο πρόβλημα των εφαπτομένων κύκλων του Απολλώνιου, δηλώνοντας και αποδεικνύοντας το Θεμελιώδες Θεώρημα της Κανονικής Αξονομετρίας και λύνοντας αστρονομικά προβλήματα που σχετίζονται με τις τροχιές των κομητών και την πλοήγηση από τα αστέρια. Η Ceres, ο πρώτος αστεροειδής, ανακαλύφθηκε όταν ο Gauss ήταν νεαρός άνδρας, αλλά μόνο μερικές παρατηρήσεις έγιναν πριν εξαφανιστεί στη φωτεινότητα του Ήλιου. Θα μπορούσε η τροχιά του να προβλεφθεί αρκετά καλά ώστε να το ανακαλύψουμε ξανά κατά την επανεμφάνισή του; Ο Laplace, ένας από τους πιο σεβαστούς μαθηματικούς της εποχής, το δήλωσε αδύνατο. Ο Γκάους έγινε διάσημος όταν χρησιμοποίησε μια πολυωνυμική εξίσωση 8ου βαθμού για να προβλέψει με επιτυχία την τροχιά της Δήμητρας. Ο Gauss έκανε επίσης σημαντική δουλειά σε διάφορους τομείς της φυσικής, ανέπτυξε μια σημαντική τροποποίηση στην προβολή χάρτη του Mercator, εφηύρε το ηλιοτρόπιο και συν-εφηύρε τον τηλέγραφο.

Μεγάλο μέρος της δουλειάς του Gauss δεν δημοσιεύτηκε. Εν αγνοία των συναδέλφων του ήταν ο Gauss που ανακάλυψε για πρώτη φορά τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία (ακόμα και προβλέποντας τον Αϊνστάιν προτείνοντας ο φυσικός χώρος να μην είναι Ευκλείδειος), διπλά περιοδικές ελλειπτικές συναρτήσεις, τύπος πρώτης κατανομής, τεταρτοταγή, θεμέλια της τοπολογίας, ο νόμος των ελάχιστων τετραγώνων, ο τύπος αριθμών κλάσης του Dirichlet, το θεώρημα διαφορικής γεωμετρίας του Bonnet (τώρα συνήθως ονομάζεται Θεώρημα Gauss-Bonnet), η διαδικασία της πεταλούδας για τον γρήγορο υπολογισμό των σειρών Fourier, ακόμη και τα βασικά στοιχεία της θεωρίας κόμβων. Ο Gauss ήταν ο πρώτος που απέδειξε το Θεμελιώδες Θεώρημα των Συναρτήσεων μιας Μιγαδικής Μεταβλητής (ότι το ολοκλήρωμα γραμμής πάνω από μια κλειστή καμπύλη μιας μονογονικής συνάρτησης είναι μηδέν), αλλά άφησε τον Cauchy να πάρει τα εύσημα. Ο Γκάους ήταν πολύ παραγωγικός και μπορεί να είναι ο πιο λαμπρός μαθηματικός που έζησε ποτέ αλλά αρκετοί άλλοι στη λίστα είχαν μεγαλύτερη ιστορική σημασία. Ο Abel υπαινίσσεται έναν λόγο για αυτό: “Ο Γκάους είναι σαν την αλεπού, που σβήνει τα ίχνη της στην άμμο.”

Ρωμαϊκά Μαθηματικά

Μέχρι τα μέσα του 1ου αιώνα π.Χ., οι Ρωμαίοι είχαν σφίξει τον έλεγχο της παλαιάς ελληνικής και ελληνιστικής αυτοκρατορίας και η μαθηματική επανάσταση των Ελλήνων είχε σταματήσει. Παρά όλες τις προόδους τους σε άλλα σημεία, δεν σημειώθηκαν μαθηματικές καινοτομίες υπό τη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και δεν υπήρχαν αξιόλογοι μαθηματικοί. Οι Ρωμαίοι δεν είχαν καμία χρησιμότητα για τα καθαρά μαθηματικά, μόνο για τις πρακτικές τους εφαρμογές, και το χριστιανικό καθεστώς που το ακολούθησε (αφού ο Χριστιανισμός έγινε η επίσημη θρησκεία της Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας) ακόμη λιγότερο.

Οι ρωμαϊκοί αριθμοί είναι πολύ γνωστοί σήμερα και ήταν το κυρίαρχο σύστημα αριθμών για το εμπόριο και τη διοίκηση στο μεγαλύτερο μέρος της Ευρώπης. Ήταν δεκαδικό (βάση 10) σύστημα αλλά όχι άμεσα τοποθετημένο και δεν περιλάμβανε μηδέν, έτσι ώστε, για αριθμητικούς και μαθηματικούς σκοπούς, ήταν ένα αδέξιο και αναποτελεσματικό σύστημα. Βασίστηκε σε γράμματα του ρωμαϊκού αλφαβήτου – I, V, X, L, C, D και M – τα οποία συνδυάζονται για να δηλώσουν το άθροισμα των τιμών τους (π.χ. VII = V + I + I = 7).

Αργότερα, υιοθετήθηκε επίσης μια αφαιρετική σημειογραφία, όπου το VIIII, για παράδειγμα, αντικαταστάθηκε από την IX (10 – 1 = 9), η οποία απλοποίησε λίγο τη γραφή των αριθμών, αλλά έκανε τον υπολογισμό ακόμα πιο δύσκολο, απαιτώντας τη μετατροπή της αφαιρετικής σημειογραφίας στην αρχή της μορφή (ενός αθροίσματος). Λόγω της δυσκολίας της γραπτής αριθμητικής με τη χρήση ρωμαϊκών αριθμητικών σημειώσεων, οι υπολογισμοί γίνονταν συνήθως με άβακα, βασισμένοι σε παλαιότερους βαβυλωνιακούς και ελληνικούς άβακες.

Λεονάρντο Πιζάνο (Φιμπονάτσι)

Ο Λεονάρντο (γνωστός σήμερα ως Φιμπονάτσι) εισήγαγε το δεκαδικό σύστημα και άλλες νέες μεθόδους αριθμητικής στην Ευρώπη και μετέδωσε τα μαθηματικά των Ινδουιστών, των Περσών και των Αράβων. Άλλοι, ιδιαίτερα ο Γκέραρντ της Κρεμόνας, είχαν μεταφράσει Ισλαμικά μαθηματικά, π.χ. τα έργα του al-Khowârizmi, στα λατινικά, αλλά ο Λεονάρντο ήταν ο δάσκαλος με επιρροή. (Δύο αιώνες νωρίτερα, ο μαθηματικός-Πάπας, Gerbert of Aurillac, είχε προσπαθήσει ανεπιτυχώς να εισαγάγει το δεκαδικό σύστημα στην Ευρώπη). Ο Λεονάρντο εισήγαγε επίσης παλιότερες ελληνικές ιδέες όπως οι αριθμοί Mersenne και οι Διοφαντικές εξισώσεις. Τα γραπτά του καλύπτουν ένα πολύ ευρύ φάσμα, συμπεριλαμβανομένων νέων θεωρημάτων γεωμετρίας, μεθόδων κατασκευής και μετατροπής αιγυπτιακών κλασμάτων (που ήταν ακόμη σε ευρεία χρήση), άρρητους αριθμούς, το κινεζικό θεώρημα υπολοίπων, θεωρήματα για τα πυθαγόρεια τρίδυμα και την ακολουθία 1, 1, 2 , 3, 5, 8, 13, …. που τώρα συνδέεται με το όνομα Fibonacci. Εκτός από τη μεγάλη ιστορική του σημασία και φήμη (ήταν αγαπημένος του αυτοκράτορα Φρειδερίκου Β’), ο Λεονάρντο «Φιμπονάτσι» αποκαλείται «ο μεγαλύτερος θεωρητικός αριθμών μεταξύ Διόφαντου και Φερμά» και «ο πιο ταλαντούχος μαθηματικός του Μεσαίωνα».

Ο Λεονάρντο είναι πιο διάσημος για το βιβλίο του Liber Abaci, αλλά το Liber Quadratorum του παρέχει την καλύτερη επίδειξη της ικανότητάς του. Καθόρισε ομάδες και απέδειξε θεωρήματα σχετικά με αυτά, συμπεριλαμβανομένου ενός θεωρήματος που καθορίζει τις προϋποθέσεις για τρεις τετραγωνικούς αριθμούς να είναι σε διαδοχικές αριθμητικές σειρές. Αυτό έχει ονομαστεί το καλύτερο έργο στη θεωρία αριθμών πριν από τον Fermat (αν και μια παρόμοια δήλωση έγινε για ένα από τα θεωρήματα του Bhaskara II). Αν και συχνά παραβλέπεται, αυτή η εργασία περιλαμβάνει μια απόδειξη της περίπτωσης n = 4 του τελευταίου θεωρήματος του Fermat. (Η απόδειξη του Leonardo για το FLT4 (Fermat’s last theorem 4) αγνοείται ευρέως ή θεωρείται ελλιπής. Ο Al-Farisi ήταν ένας άλλος αρχαίος μαθηματικός που σημείωσε το FLT4, αν και δεν προσπάθησε να to αποδείξει). Ένα άλλο από τα αξιοσημείωτα επιτεύγματα του Leonardo ήταν η απόδειξη ότι οι ρίζες μιας ορισμένης κυβικής εξίσωσης δεν θα μπορούσαν να έχουν καμία από τις κατασκευάσιμες μορφές που είχε περιγράψει ο Ευκλείδης στο Βιβλίο 10 των Στοιχείων του. Έγραψε επίσης, αλλά δεν απέδειξε, το Θεώρημα του Wilson.

Ο Λεονάρντο παρείχε στην Ευρώπη το δεκαδικό σύστημα, την άλγεβρα και τη μέθοδο πολλαπλασιασμού του «πλέγματος», όλα πολύ ανώτερα από τις μεθόδους που χρησιμοποιούνταν τότε. Εισήγαγε σημειογραφία όπως το 3/5. Η έξυπνη επέκτασή του για ποσότητες όπως 5 γιάρδες, 2 πόδια και 3 ίντσες είναι πιο αποτελεσματική από τη σημερινή σημείωση. Φαίνεται δύσκολο να το πιστέψουμε, αλλά πριν από το δεκαδικό σύστημα, οι μαθηματικοί δεν είχαν συμβολισμό για το μηδέν. Αναφερόμενος σε αυτό το σύστημα, ο Γκάους έπρεπε αργότερα να αναφωνήσει «Σε ποια ύψη θα έφτανε τώρα η επιστήμη αν ο Αρχιμήδης είχε κάνει αυτή την ανακάλυψη!».

Ορισμένες ιστορίες τον περιγράφουν ότι έφερε τα ισλαμικά μαθηματικά στην Ευρώπη, αλλά στον πρόλογο του ίδιου του Φιμπονάτσι στο Liber Abaci, πιστώνει συγκεκριμένα στους Ινδουιστές:

… ως συνέπεια της θαυμάσιας διδασκαλίας στην τέχνη, στα εννέα ψηφία των Ινδουιστών, η γνώση της τέχνης με ελκύησε πολύ πριν από όλες τις άλλες, και γι’ αυτήν συνειδητοποίησα ότι όλες οι πτυχές της μελετήθηκαν στην Αίγυπτο, τη Συρία , Ελλάδα, Σικελία και Προβηγκία, με τις ποικίλες μεθόδους τους.
… Αλλά όλα αυτά, καθώς και την τέχνη του Πυθαγόρα, τα θεώρησα σχεδόν ως λάθος σε σχέση με τη μέθοδο των Ινδουιστών. Επομένως, ασπαζόμενος πιο αυστηρά αυτή τη μέθοδο των Ινδουιστών, και με πιο αυστηρούς κόπους στη μελέτη της, προσθέτοντας ορισμένα πράγματα από τη δική μου κατανόηση και εισάγοντας επίσης ορισμένα πράγματα από τις ωραιότητες της γεωμετρικής τέχνης του Ευκλείδη, προσπάθησα να συνθέσω αυτό το βιβλίο στο σύνολό του όσο πιο κατανοητό μπορούσα…

Αν η Επιστημονική Αναγέννηση είχε ξεκινήσει στην Ισλαμική Αυτοκρατορία, κάποιος όπως ο al-Khowârizmi θα είχε μεγαλύτερη ιστορική σημασία από τον Fibonacci, αλλά η Αναγέννηση συνέβη στην Ευρώπη. Η περίληψη του δεκαδικού συστήματος του Liber Abaci ονομάστηκε «η πιο σημαντική πρόταση που γράφτηκε ποτέ». Ακόμη και αν αυτό είναι υπερβολή, δεν υπάρχει αμφιβολία ότι η Επιστημονική Επανάσταση οφείλει ένα τεράστιο χρέος στον Λεονάρντο «Φιμπονάτσι» Πιζάνο.

Ελληνιστικά Μαθηματικά

Τον 3ο αιώνα π.Χ., στον απόηχο των κατακτήσεων του Μεγάλου Αλεξάνδρου, μαθηματικές ανακαλύψεις άρχισαν επίσης να γίνονται στα όρια της ελληνικής αυτοκρατορίας.

Συγκεκριμένα, η Αλεξάνδρεια στην Αίγυπτο έγινε σπουδαίο κέντρο μάθησης υπό την ευεργετική κυριαρχία των Πτολεμαίων και η περίφημη Βιβλιοθήκη της σύντομα απέκτησε φήμη για να ανταγωνιστεί αυτήν της Αθηναϊκής Ακαδημίας. Οι θαμώνες της Βιβλιοθήκης ήταν αναμφισβήτητα οι πρώτοι επαγγελματίες επιστήμονες που πληρώθηκαν για την αφοσίωσή τους στην έρευνα. Μεταξύ των πιο γνωστών και πιο σημαντικών μαθηματικών που σπούδασαν και δίδαξαν στην Αλεξάνδρεια ήταν ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης, ο Ερατοσθένης, ο Ήρων, ο Μενέλαος και ο Διόφαντος.

Στα τέλη του 4ου και στις αρχές του 3ου αιώνα π.Χ., ο Ευκλείδης ήταν ο μεγάλος χρονικογράφος των μαθηματικών της εποχής και ένας από τους πιο σημαντικούς δασκάλους στην ιστορία. Ουσιαστικά επινόησε την κλασική (Ευκλείδεια) γεωμετρία όπως την ξέρουμε. Ο Αρχιμήδης πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του στις Συρακούσες της Σικελίας, αλλά σπούδασε για λίγο στην Αλεξάνδρεια. Είναι ίσως περισσότερο γνωστός ως μηχανικός και εφευρέτης, αλλά, υπό το φως των πρόσφατων ανακαλύψεων, θεωρείται πλέον ένας από τους μεγαλύτερους καθαρούς μαθηματικούς όλων των εποχών. Ο Ερατοσθένης ο Αλεξανδρινός ήταν σχεδόν σύγχρονος του Αρχιμήδη τον 3ο αιώνα π.Χ. Μαθηματικός, αστρονόμος και γεωγράφος, επινόησε το πρώτο σύστημα γεωγραφικού πλάτους και μήκους και υπολόγισε την περιφέρεια της γης με αξιοσημείωτο βαθμό ακρίβειας. Ως μαθηματικός, η μεγαλύτερη κληρονομιά του είναι ο αλγόριθμος «Κόσκινο του Ερατοσθένη» για την αναγνώριση πρώτων αριθμών.

Σφαιρικό Τρίγωνο

Δεν είναι γνωστό πότε ακριβώς κάηκε η μεγάλη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, αλλά η Αλεξάνδρεια παρέμεινε σημαντικό πνευματικό κέντρο για μερικούς αιώνες. Τον 1ο αιώνα π.Χ., ο Ήρων ήταν ένας άλλος μεγάλος Αλεξανδρινός εφευρέτης, πιο γνωστός στους μαθηματικούς κύκλους για τα Ηρωνιακά τρίγωνα (τρίγωνα με ακέραιες πλευρές και ακέραιο εμβαδόν), τον τύπο του Ήρωνα για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου από τα μήκη των πλευρών του και τη “Μέθοδο του Ήρωνα” για τον επαναληπτικό υπολογισμό μιας τετραγωνικής ρίζας. Ήταν επίσης ο πρώτος μαθηματικός που αντιμετώπισε τουλάχιστον την ιδέα του √-1 (αν και δεν είχε ιδέα πώς να το αντιμετωπίσει, κάτι που έπρεπε να περιμένει τον Tartaglia και τον Cardano τον 16ο αιώνα).

Ο Μενέλαος ο Αλεξανδρεύς, που έζησε τον 1ο – 2ο αιώνα μ.Χ., ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε τη γεωδαισία σε μια καμπύλη επιφάνεια ως τα φυσικά ανάλογα των ευθειών γραμμών σε ένα επίπεδο επίπεδο. Το βιβλίο του «Σφαιρική» ασχολήθηκε με τη γεωμετρία της σφαίρας και την εφαρμογή της σε αστρονομικές μετρήσεις και υπολογισμούς και εισήγαγε την έννοια του σφαιρικού τριγώνου (ένα σχήμα που σχηματίζεται από τρία μεγάλα τόξα κύκλων, τα οποία ονόμασε «τρίπλευρα»).

Τον 3ο αιώνα μ.Χ., ο Διόφαντος από την Αλεξάνδρεια ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε τα κλάσματα ως αριθμούς και θεωρείται πρώιμος καινοτόμος στον τομέα αυτού που αργότερα θα γίνει γνωστό ως άλγεβρα. Εφαρμόστηκε σε μερικά αρκετά πολύπλοκα αλγεβρικά προβλήματα, συμπεριλαμβανομένου αυτού που είναι σήμερα γνωστό ως Διοφαντική Ανάλυση, που ασχολείται με την εύρεση ακέραιων λύσεων σε είδη προβλημάτων που οδηγούν σε εξισώσεις με πολλούς αγνώστους (Διοφαντικές εξισώσεις). Η «Αριθμητική» του Διόφαντου, μια συλλογή προβλημάτων που δίνει αριθμητικές λύσεις τόσο καθορισμένων όσο και απροσδιόριστων εξισώσεων, ήταν το πιο σημαντικό έργο για την άλγεβρα σε όλα τα ελληνικά μαθηματικά και τα προβλήματά του ασκούσαν το μυαλό πολλών από τους καλύτερους μαθηματικούς του κόσμου για μεγάλο μέρος του επόμενου δύο χιλιετίες.

Κωνικές τομές του Απολλώνιου

Όμως η Αλεξάνδρεια δεν ήταν το μόνο κέντρο μάθησης στην ελληνική αυτοκρατορία. Θα πρέπει επίσης να αναφερθεί ο Απολλώνιος ο Περγαίος, του οποίου η εργασία στα τέλη του 3ου αιώνα π.Χ. σχετικά με τη γεωμετρία (και, ειδικότερα, τις κωνικές τομές) είχε μεγάλη επιρροή στους μεταγενέστερους Ευρωπαίους μαθηματικούς. Ήταν ο Απολλώνιος που έδωσε στην έλλειψη, την παραβολή και την υπερβολή τα ονόματα με τα οποία τα γνωρίζουμε και έδειξε πώς θα μπορούσαν να προέρχονται από διαφορετικά τμήματα μέσω ενός κώνου.

Ο Ίππαρχος, ο οποίος ήταν επίσης από την ελληνιστική Ανατολία και έζησε τον 2ο αιώνα π.Χ., ήταν ίσως ο μεγαλύτερος από όλους τους αρχαίους αστρονόμους. Αναβίωσε τη χρήση των αριθμητικών τεχνικών που αναπτύχθηκαν για πρώτη φορά από τους Χαλδαίους και τους Βαβυλώνιους, και συνήθως πιστώνεται με τις απαρχές της τριγωνομετρίας. Υπολόγισε (με αξιοσημείωτη ακρίβεια για την εποχή) την απόσταση της σελήνης από τη γη μετρώντας τα διάφορα μέρη της σελήνης ορατά σε διαφορετικές τοποθεσίες και υπολογίζοντας την απόσταση χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των τριγώνων. Συνέχισε δημιουργώντας τον πρώτο πίνακα συγχορδιών (μήκη πλευρών που αντιστοιχούν σε διαφορετικές γωνίες τριγώνου). Ωστόσο, την εποχή του μεγάλου Αλεξανδρινού αστρονόμου Πτολεμαίου τον 2ο αιώνα μ.Χ., η ελληνική γνώση των αριθμητικών διαδικασιών είχε προχωρήσει στο σημείο που ο Πτολεμαίος μπόρεσε να συμπεριλάβει στην «Αλμαγέστη» έναν πίνακα τριγωνομετρικών χορδών σε κύκλο για βήματα ενός τετάρτου της μοίρας, το οποίο (αν και εκφράζεται στο εξηνταδικό Βαβυλωνιακό σύστημα) είναι ακριβές με περίπου πέντε δεκαδικά ψηφία.

Από τα μέσα του 1ου αιώνα π.Χ. και μετά, ωστόσο, οι Ρωμαίοι είχαν σφίξει τον έλεγχο της παλαιάς ελληνικής αυτοκρατορίας. Οι Ρωμαίοι δεν είχαν κανένα ενδιαφέρον για τα καθαρά μαθηματικά, μόνο για τις πρακτικές τους εφαρμογές, και το χριστιανικό καθεστώς που τα ακολούθησε ακόμη λιγότερο. Το τελευταίο χτύπημα στην ελληνιστική μαθηματική κληρονομιά στην Αλεξάνδρεια μπορεί να φανεί στη φιγούρα της Υπατίας, της πρώτης καταγεγραμμένης γυναίκας μαθηματικού, και μιας διάσημης δασκάλας που είχε γράψει μερικά αξιοσέβαστα σχόλια για τον Διόφαντο και τον Απολλώνιο. Την έσυρε στο θάνατο ο χριστιανικός όχλος το 415 μ.Χ.

Πυθαγόρας ο Σάμιος

Ο Πυθαγόρας, που μερικές φορές αποκαλείται «Πρώτος Φιλόσοφος», σπούδασε κοντά στον Αναξίμανδρο, τους Αιγύπτιους, τους Βαβυλώνιους και τον μυστικιστή Φερεκύδη (από τον οποίο ο Πυθαγόρας απέκτησε την πίστη στη μετενσάρκωση). Έγινε ο πιο σημαντικός από τους πρώτους Έλληνες μαθηματικούς. Του πιστώνεται ότι ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε αξιώματα και επαγωγικές αποδείξεις, επομένως η επιρροή του στον Πλάτωνα και τον Ευκλείδη μπορεί να είναι τεράστια. Γενικά του αποδίδεται μεγάλο μέρος των Βιβλίων Ι και ΙΙ των Στοιχείων του Ευκλείδη. Αυτός και οι μαθητές του (οι «Πυθαγόρειοι») ήταν ασκητές μυστικιστές για τους οποίους τα μαθηματικά ήταν εν μέρει πνευματικό εργαλείο. (Μερικοί αποκρυφιστές αντιμετωπίζουν τον Πυθαγόρα ως μάγο και ιδρυτή μυστικιστή φιλόσοφο). Ο Πυθαγόρας ενδιαφερόταν πολύ για την αστρονομία και φαίνεται ότι ήταν ο πρώτος άνθρωπος που συνειδητοποίησε ότι η Γη ήταν μια σφαίρα παρόμοια με τους άλλους πλανήτες. Αυτός και οι οπαδοί του άρχισαν να μελετούν το ζήτημα των κινήσεων των πλανητών, το οποίο δεν θα επιλυόταν για περισσότερες από δύο χιλιετίες. Οι λέξεις φιλοσοφία και μαθηματικά λέγεται ότι επινοήθηκαν από τον Πυθαγόρα. Υποτίθεται ότι εφηύρε το Πυθαγόρειο Κύπελλο, ένα έξυπνο κύπελλο κρασιού που τιμωρεί έναν πότη που γεμίζει άπληστα το φλιτζάνι του μέχρι την κορυφή, χρησιμοποιώντας στη συνέχεια την πίεση του σιφονιού για να στραγγίξει το φλιτζάνι.

Ο Πυθαγόρας κατατάσσεται στο #10 στη λίστα δημοτικότητας/παραγωγικότητας του Pantheon, αλλά παρά την ιστορική του σημασία μπορεί να τον κατατάσσεται πολύ ψηλά. Πολλά αποτελέσματα των Πυθαγορείων οφείλονταν στους μαθητές του, κανένα από τα γραπτά τους δεν σώζεται, και όσα είναι γνωστά αναφέρονται μεταχειρισμένα, και πιθανώς υπερβολικά, από τον Πλάτωνα και άλλους. Ορισμένες ιδέες που του αποδίδονται πιθανώς διατυπώθηκαν για πρώτη φορά από διαδόχους όπως ο Παρμενίδης από την Ελέα (περίπου 515-440 π.Χ.).

Οι μαθητές του Πυθαγόρα περιλάμβαναν τον Ιππάσο του Μεταπόντου, τον διάσημο ανατόμο και γιατρό Αλκμαίωνα (ο οποίος ήταν ο πρώτος που ισχυρίστηκε ότι η σκέψη εμφανιζόταν στον εγκέφαλο και όχι στην καρδιά), τον Μήλωνα του Κρότωνα και την κόρη του Μήλωνα, Θεανώ (που μπορεί να ήταν σύζυγος του Πυθαγόρα). Ο όρος Πυθαγόρειος υιοθετήθηκε επίσης από πολλούς μαθητές που έζησαν αργότερα. Αυτοί οι μαθητές περιλαμβάνουν τον Φιλόλαο του Κρότωνα, τον φυσικό φιλόσοφο Εμπεδοκλή και αρκετούς άλλους διάσημους Έλληνες. Διάδοχος του Πυθαγόρα ήταν προφανώς η ίδια η Θεανώ. Οι Πυθαγόρειοι ήταν μια από τις λίγες αρχαίες σχολές που ασκούσαν την ισότητα των φύλων.

Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε ότι τα αρμονικά διαστήματα στη μουσική βασίζονται σε απλούς ρητούς αριθμούς. Αυτό οδήγησε σε μια γοητεία με τους ακέραιους αριθμούς και τη μυστικιστική αριθμολογία. Μερικές φορές αποκαλείται «Πατέρας των Αριθμών» και κάποτε είπε «Ο αριθμός κυβερνά το σύμπαν». (Σχετικά με τη μαθηματική βάση της μουσικής, ο Leibniz έγραψε αργότερα, “Η μουσική είναι η ευχαρίστηση που βιώνει η ανθρώπινη ψυχή από το μέτρημα χωρίς να γνωρίζει ότι μετράει”. Άλλοι μαθηματικοί που ερεύνησαν την αριθμητική της μουσικής ήταν οι Huygens, Euler και Simon Stevin). Για οποιουσδήποτε αριθμούς a και b οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν τα τρία διακριτά μέσα: (a+b)/2 (αριθμητικός μέσος όρος), √(ab) (γεωμετρικός μέσος όρος) και 2ab/(a+b) (αρμονικός μέσος όρος).

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα ήταν γνωστό πολύ πριν από τον Πυθαγόρα, αλλά συχνά του αποδίδονταν (πριν την ανακάλυψη ενός αρχαίου κινεζικού κειμένου) την πρώτη απόδειξη. Μπορεί να ανακάλυψε την απλή παραμετρική μορφή των Πυθαγόρειων τριδύμων (xx-yy, 2xy, xx+yy), αν και η πρώτη ρητή αναφορά γι’ αυτό μπορεί να είναι στα Στοιχεία του Ευκλείδη. (αυτός ο τύπος ήταν πιθανώς γνωστός στη Βαβυλωνία πάνω από 1000 χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα). Άλλες ανακαλύψεις της Πυθαγόρειας σχολής περιλαμβάνουν την κατασκευή του κανονικού πενταγώνου, έννοιες τέλειων και φίλιων αριθμών, πολυγωνικούς αριθμούς, χρυσή αναλογία (που αποδίδεται στη Θεανώ), τρία από τα πέντε κανονικά στερεά (που αποδίδονται στον ίδιο τον Πυθαγόρα) και άρρητους αριθμούς (που αποδίδονται στον Ίππασο). Λέγεται ότι η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών αναστάτωσε τους Πυθαγόρειους τόσο πολύ που πέταξαν τον Ίππασο στον ωκεανό! (Μια άλλη εκδοχή εξόρισε τον Ιππάσο επειδή αποκάλυψε το μυστικό για την κατασκευή της σφαίρας που περικλείει ένα δωδεκάεδρο.)

Εκτός από τον Παρμενίδη, οι διάσημοι διάδοχοι του Θαλή και του Πυθαγόρα περιλαμβάνουν τον Ζήνωνα της Ελέας, τον Ιπποκράτη τον Χίο, τον Πλάτωνα τον Αθηναίο (περίπου 428-348 π.Χ.), τον Θεαίτητο και τον Αρχύτα. Αυτοί οι πρώτοι Έλληνες εγκαινίασαν μια Χρυσή Εποχή των Μαθηματικών και της Φιλοσοφίας απαράμιλλη στην Ευρώπη μέχρι την Αναγέννηση. Η έμφαση δόθηκε στα καθαρά, παρά στα πρακτικά, μαθηματικά. Ο Πλάτωνας (ο οποίος κατατάσσεται #40 στη διάσημη λίστα του Μάικλ Χαρτ με τα Πρόσωπα με τη μεγαλύτερη επιρροή στην Ιστορία) αποφάσισε ότι οι μελετητές του πρέπει να κάνουν γεωμετρική κατασκευή αποκλειστικά με κανόνα και διαβήτη και όχι με «εργαλεία ξυλουργού» όπως χάρακες και μοιρογνωμόνια.

Ελληνικά Μαθηματικά

Καθώς η ελληνική αυτοκρατορία άρχισε να εξαπλώνει τη σφαίρα επιρροής της στη Μικρά Ασία, τη Μεσοποταμία και όχι μόνο, οι Έλληνες ήταν αρκετά έξυπνοι ώστε να υιοθετήσουν και να προσαρμόσουν χρήσιμα στοιχεία από τις κοινωνίες που κατέκτησαν. Αυτό ίσχυε για τα μαθηματικά τους όσο οτιδήποτε άλλο, και υιοθέτησαν στοιχεία μαθηματικών τόσο από τους Βαβυλώνιους όσο και από τους Αιγύπτιους. Σύντομα όμως άρχισαν να κάνουν σημαντικές συνεισφορές από μόνοι τους και, για πρώτη φορά, μπορούμε να αναγνωρίσουμε τις συνεισφορές μεμονωμένων ατόμων. Μέχρι την ελληνιστική περίοδο, οι Έλληνες είχαν προεδρεύσει σε μια από τις πιο δραματικές και σημαντικές επαναστάσεις στη μαθηματική σκέψη όλων των εποχών.

Αττικοί ή Ηρωδιανικοί αριθμοί

Το αρχαίο ελληνικό αριθμητικό σύστημα, γνωστό ως Αττικοί ή Ηρωδιανικοί αριθμοί, αναπτύχθηκε πλήρως περίπου το 450 π.Χ. και ήταν σε γενική χρήση πιθανώς ήδη από τον 7ο αιώνα π.Χ. Ήταν ένα σύστημα βάσης 10 παρόμοιο με το προηγούμενο αιγυπτιακό (και ακόμη πιο παρόμοιο με το μεταγενέστερο ρωμαϊκό σύστημα), με σύμβολα για 1, 5, 10, 50, 100, 500 και 1.000 επαναλαμβανόμενα όσες φορές χρειαζόταν για να αναπαραστήσουν τον επιθυμητό αριθμό. Η πρόσθεση έγινε αθροίζοντας χωριστά τα σύμβολα (1, 10, 100, κ.λπ.) στους αριθμούς που έπρεπε να προστεθούν και ο πολλαπλασιασμός ήταν μια επίπονη διαδικασία βασισμένη σε διαδοχικούς διπλασιασμούς (η διαίρεση βασίστηκε στο αντίστροφο αυτής της διαδικασίας).

Το θεώρημα του Θαλή

Τα περισσότερα ελληνικά μαθηματικά βασίστηκαν στη γεωμετρία. Ο Θαλής, ένας από τους Επτά Σοφούς της Αρχαίας Ελλάδας, που έζησε στις ακτές του Ιονίου της Μικράς Ασίας το πρώτο μισό του 6ου αιώνα π.Χ., θεωρείται συνήθως ο πρώτος που έθεσε κατευθυντήριες γραμμές για την αφηρημένη ανάπτυξη της γεωμετρίας, αν και αυτό που γνωρίζουμε για το έργο του (όπως για όμοια και ορθογώνια τρίγωνα) φαίνεται τώρα αρκετά στοιχειώδες.

Ο Θαλής καθιέρωσε το θεώρημα σύμφωνα με το οποίο εάν ένα τρίγωνο σχεδιαστεί μέσα σε έναν κύκλο με τη μεγάλη πλευρά ως διάμετρο του κύκλου, τότε η απέναντι γωνία θα είναι πάντα ορθή (καθώς και κάποιες άλλες σχετικές ιδιότητες που προκύπτουν από αυτό). Του πιστώνεται επίσης ένα άλλο θεώρημα, γνωστό ως Θεώρημα του Θαλή, σχετικά με τους λόγους των τμημάτων που δημιουργούνται εάν δύο ευθείες τέμνονται από τρεις παράλληλες.

Σε κάποιο βαθμό, ωστόσο, ο θρύλος του μαθηματικού του 6ου αιώνα π.Χ., Πυθαγόρα του Σάμιου, έχει γίνει συνώνυμος με τη γέννηση των ελληνικών μαθηματικών. Πράγματι, πιστεύεται ότι επινόησε και τις δύο λέξεις «φιλοσοφία» («αγάπη για τη σοφία») και «μαθηματικά» («αυτό που μαθαίνεται»). Ο Πυθαγόρας ήταν ίσως ο πρώτος που συνειδητοποίησε ότι μπορούσε να κατασκευαστεί ένα πλήρες σύστημα μαθηματικών, όπου τα γεωμετρικά στοιχεία αντιστοιχούσαν με αριθμούς. Το Θεώρημα του Πυθαγόρα (ή το Πυθαγόρειο Θεώρημα) είναι ένα από τα πιο γνωστά από όλα τα μαθηματικά θεωρήματα. Παραμένει όμως μια αμφιλεγόμενη φιγούρα, όπως θα δούμε, και τα ελληνικά μαθηματικά σε καμία περίπτωση δεν περιορίζονταν σε έναν άνθρωπο.

Τρία γεωμετρικά προβλήματα

Τρία γεωμετρικά προβλήματα συγκεκριμένα, που συχνά αναφέρονται ως Τρία Κλασικά Προβλήματα, και όλα πρέπει να επιλυθούν με καθαρά γεωμετρικά μέσα χρησιμοποιώντας μόνο μια ευθεία ακμή και έναν διαβήτη, χρονολογούνται από τις πρώτες μέρες της ελληνικής γεωμετρίας: «Ο τετραγωνισμός του κύκλου», «ο διπλασιασμός του κύβου» και «η τριχοτόμιση μιας γωνίας». Αυτά τα προβλήματα είχαν βαθιά επιρροή στη μελλοντική γεωμετρία και οδήγησαν σε πολλές γόνιμες ανακαλύψεις, αν και οι πραγματικές λύσεις τους (ή, όπως αποδείχθηκε, οι αποδείξεις της αδυναμίας τους) έπρεπε να περιμένουν μέχρι τον 19ο αιώνα.

Ο Ιπποκράτης ο Χίος (δεν πρέπει να συγχέεται με τον μεγάλο Έλληνα γιατρό Ιπποκράτη της Κω.) ήταν ένας τέτοιος Έλληνας μαθηματικός που ασχολήθηκε με αυτά τα προβλήματα κατά τον 5ο αιώνα π.Χ. Το έργο του αποτέλεσε σημαντική πηγή για το μεταγενέστερο έργο του Ευκλείδη.

Το Παράδοξο του Ζήνωνα και του Αχιλλέα και της Χελώνας

Οι Έλληνες ήταν αυτοί που πρώτοι καταπιάστηκαν με την ιδέα του απείρου, όπως περιγράφεται στα γνωστά παράδοξα που αποδίδονται στον φιλόσοφο Ζήνωνα από την Ελέα τον 5ο αιώνα π.Χ. Το πιο διάσημο από τα παράδοξά του είναι αυτό του Αχιλλέα και της Χελώνας, που περιγράφει έναν θεωρητικό αγώνα ανάμεσα στον Αχιλλέα και μια χελώνα. Ο Αχιλλέας δίνει στην πολύ πιο αργή χελώνα ένα προβάδισμα, αλλά όταν ο Αχιλλέας φτάσει στο σημείο εκκίνησης της χελώνας, η χελώνα έχει ήδη προχωρήσει. Μέχρι να φτάσει ο Αχιλλέας σε αυτό το σημείο, η χελώνα έχει προχωρήσει ξανά, κτλ, κτλ, έτσι ώστε κατ ‘αρχήν ο γρήγορος Αχιλλέας δεν μπορεί ποτέ να προλάβει την αργή χελώνα.

Παράδοξα όπως αυτό και το λεγόμενο Παράδοξο Διχοτομίας του Ζήνωνα βασίζονται στην άπειρη διαιρετότητα του χώρου και του χρόνου και βασίζονται στην ιδέα ότι το μισό συν ένα τέταρτο συν ένα όγδοο συν ένα δέκατο έκτο, κλπ, κλπ, στο άπειρο ίσον με ένα. Το παράδοξο, ωστόσο, πηγάζει από την εσφαλμένη υπόθεση ότι είναι αδύνατο να συμπληρωθεί ένας άπειρος αριθμός διακριτών στοιχείων σε πεπερασμένο χρόνο, αν και είναι εξαιρετικά δύσκολο να αποδειχθεί το παράδοξο. Ο αρχαίος Έλληνας Αριστοτέλης ήταν ο πρώτος από πολλούς που προσπάθησε να διαψεύσει τα παράδοξα, ιδιαίτερα καθώς πίστευε ακράδαντα ότι το άπειρο θα μπορούσε να είναι μόνο δυνητικό και όχι πραγματικό.

Ο Δημόκριτος, ο πιο διάσημος για τις προφητείες του σχετικά με το ότι όλη η ύλη αποτελείται από μικροσκοπικά άτομα, ήταν επίσης πρωτοπόρος των μαθηματικών και της γεωμετρίας τον 5ο – 4ο αιώνα π.Χ., και δημιούργησε έργα με τίτλους όπως «Περί αριθμών», «Γεωμετρία», αν και αυτά τα έργα δεν έχουν διασωθεί. Γνωρίζουμε ότι ήταν από τους πρώτους που παρατήρησαν ότι ένας κώνος (ή πυραμίδα) έχει το ένα τρίτο του όγκου ενός κυλίνδρου (ή πρίσματος) με την ίδια βάση και ύψος, και είναι ίσως ο πρώτος που σκέφτηκε σοβαρά τη διαίρεση αντικειμένων σε άπειρο αριθμό διατομών.

Ωστόσο, είναι βέβαιο ότι ο Πυθαγόρας επηρέασε ιδιαίτερα αυτούς που ακολούθησαν, συμπεριλαμβανομένου του Πλάτωνα, ο οποίος ίδρυσε την περίφημη Ακαδημία του στην Αθήνα το 387 π.Χ., και τον προστατευόμενό του Αριστοτέλη, του οποίου το έργο στη λογική θεωρήθηκε οριστικό για πάνω από δύο χιλιάδες χρόνια. Ο Πλάτωνας είναι περισσότερο γνωστός για την περιγραφή των πέντε πλατωνικών στερεών, αλλά η αξία του έργου του ως δάσκαλου και εκλαϊκευτή των μαθηματικών δεν μπορεί να υπερεκτιμηθεί.

Ο μαθητής του Πλάτωνα, Εύδοξος, πιστώνεται συνήθως με την πρώτη εφαρμογή της «μεθόδου εξάντλησης» (αργότερα αναπτύχθηκε από τον Αρχιμήδη), μια πρώιμη μέθοδο ολοκλήρωσης με διαδοχικές προσεγγίσεις που χρησιμοποίησε για τον υπολογισμό του όγκου της πυραμίδας και του κώνου. Ανέπτυξε επίσης μια γενική θεωρία αναλογίας, η οποία ήταν εφαρμόσιμη σε ασύμμετρα (παράλογα) μεγέθη που δεν μπορούν να εκφραστούν ως λόγος δύο ακέραιων αριθμών, καθώς και σε συγκρίσιμα (ορθολογικά) μεγέθη, επεκτείνοντας έτσι τις ημιτελείς ιδέες του Πυθαγόρα.

Ίσως η πιο σημαντική μεμονωμένη συνεισφορά των Ελλήνων ήταν η ιδέα της απόδειξης και η επαγωγική μέθοδος χρήσης λογικών βημάτων για την απόδειξη ή την απόρριψη θεωρημάτων από αρχικά υποτιθέμενα αξιώματα. Παλαιότεροι πολιτισμοί, όπως οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι, βασίζονταν σε επαγωγικό συλλογισμό, που χρησιμοποιεί επαναλαμβανόμενες παρατηρήσεις για να καθορίσουν εμπειρικούς κανόνες. Αυτή η έννοια της απόδειξης είναι που δίνει στα μαθηματικά τη δύναμή τους και διασφαλίζει ότι οι αποδεδειγμένες θεωρίες είναι τόσο αληθινές σήμερα όσο πριν από δύο χιλιάδες χρόνια, και που έθεσε τα θεμέλια για τη συστηματική προσέγγιση των μαθηματικών του Ευκλείδη και όσων ήρθαν μετά από αυτόν.

Λέοναρντ Όιλερ

Ο Euler μπορεί να είναι ο μαθηματικός με τη μεγαλύτερη επιρροή που έζησε ποτέ (αν και κάποιοι θα τον θεωρούσαν δεύτερο μετά τον Ευκλείδη). κατατάσσεται #77 στη διάσημη λίστα του Μάικλ Χαρτ με τα Πρόσωπα με τη μεγαλύτερη επιρροή στην Ιστορία. Οι συνάδελφοί του τον αποκαλούσαν «Ενσαρκωμένη Ανάλυση». Ο Laplace, διάσημος επειδή αρνήθηκε τα εύσημα σε άλλους μαθηματικούς, είπε κάποτε «Διαβάστε τον Euler: είναι ο δάσκαλός μας σε όλα». Οι σημειώσεις και οι μέθοδοί του σε πολλούς τομείς χρησιμοποιούνται μέχρι σήμερα. Ο Euler ήταν ο πιο παραγωγικός μαθηματικός στην ιστορία. Μερικοί μελετητές κατατάσσουν την “Introductio in analysin infinitorum” του 1748 πάνω από τη “Géométrie” του Ντεκάρτ, τις “Disquisitiones” του Γκάους, ακόμη και το “Principia Mathematica” του Νεύτωνα.

Όπως ο Αρχιμήδης επέκτεινε τη γεωμετρία του Ευκλείδη, έτσι και ο Όιλερ εκμεταλλεύτηκε θαυμάσια την ανάλυση του Νεύτωνα και του Λάιμπνιτς. Έδωσε επίσης στον κόσμο τη σύγχρονη τριγωνομετρία. Πρωτοστάτησε (μαζί με τον Lagrange) στον λογισμό των παραλλαγών. Γενίκευσε και απέδειξε τους τύπους Newton-Giraud και είχε σημαντική συνεισφορά στην άλγεβρα, π.χ. η μελέτη του για τις υπεργεωμετρικές σειρές. Ήταν επίσης άριστος στα διακριτά μαθηματικά, εφευρίσκοντας τη θεωρία γραφημάτων. Ο Euler έγραψε την πρώτη οριστική πραγματεία για τα συνεχή κλάσματα, καθιερώνοντας πολλά βασικά θεωρήματα για αυτό το σημαντικό θέμα. Αν και η εφεύρεση της δημιουργίας συναρτήσεων αποδίδεται στον DeMoivre, ο Euler εκμεταλλεύτηκε εξαιρετικά την ιδέα: για παράδειγμα, αφήνοντας το p(n) να υποδηλώνει τον αριθμό των διαμερίσεων του n, ο Euler βρήκε την υπέροχη εξίσωση:

    \[\sum _n {p(n)x^n}=\dfrac{1}{\Pi_k}(1-x^k)\]

Ο Euler βρήκε μια έξυπνη απόδειξη γι’ αυτό που τώρα ονομάζεται “μια από τις πιο βαθιές ανακαλύψεις του”, σχετική με τη θεωρία των ελλειπτικών αρθρωτών συναρτήσεων.

Ο Euler ήταν ένας πολύ σημαντικός στη θεωρία αριθμών. Απέδειξε ότι το άθροισμα των αντίστροφων πρώτων αριθμών αποκλίνει (και είναι περίπου ln (ln (p)) αν αθροιστούν οι πρώτοι αντίστροφοι μέχρι το 1/p). Εφηύρε τη συνάρτηση “Φ” και τη χρησιμοποίησε για να γενικεύσει το Μικρό Θεώρημα του Φερμά, βρήσκοντας τόσο τον μεγαλύτερο τότε γνωστό πρώτο όσο και τον μεγαλύτερο τότε γνωστό τέλειο αριθμό, απέδειξε ότι ο e είναι άρρητος, ανακάλυψε (αν και χωρίς πλήρη απόδειξη) μια ευρεία κατηγορία υπερβατικών αριθμών , απέδειξε ότι όλοι οι ακόμη τέλειοι αριθμοί πρέπει να έχουν την αριθμητική μορφή Mersenne που είχε ανακαλύψει ο Ευκλείδης 2000 χρόνια νωρίτερα, και πολλά άλλα. Ο Euler ήταν επίσης πρώτος που απέδειξε αρκετά ενδιαφέροντα θεωρήματα γεωμετρίας, σχέσεις μεταξύ των υψών ενός τριγώνου, των διαμέσου και των περιγραμμένων και εγγεγραμμένων κύκλων. Το περίφημο Θεώρημα Διασταυρωμένων Χορδών. και μια έκφραση για τον όγκο ενός τετραέδρου ως προς τα μήκη των ακμών του. Ο Euler ήταν ο πρώτος που εξερεύνησε την τοπολογία, αποδεικνύοντας θεωρήματα για τη χαρακτηριστική του Euler, και το περίφημο πολυεδρικό θεώρημα του Euler, F+V = E+2 (αν και μπορεί να ανακαλύφθηκε από τον Descartes και να αποδείχθηκε για πρώτη φορά αυστηρά από τον Jordan). Αν και σημειώθηκε ως ο πρώτος μεγάλος «καθαρός μαθηματικός», οι εξισώσεις αντλίας και στροβίλου του Euler έφεραν επανάσταση στο σχεδιασμό των αντλιών. Έκανε επίσης σημαντική συμβολή στη θεωρία της μουσικής, την ακουστική, την οπτική, τις ουράνιες κινήσεις, τη δυναμική των ρευστών και τη μηχανική. Επέκτεινε τους Νόμους της Κίνησης του Νεύτωνα σε περιστρεφόμενα άκαμπτα σώματα. και ανέπτυξε την εξίσωση δέσμης Euler-Bernoulli. Σε μια πιο ελαφριά νότα, ο Euler κατασκεύασε ένα ιδιαίτερα «μαγικό» μαγικό τετράγωνο.

Ο Euler πιστώνεται με την πρώτη απόδειξη του Θεωρήματος των Χριστουγέννων του Fermat (ένας πρώτος της μορφής 4k+1 είναι το άθροισμα δύο τετραγώνων με έναν ακριβώς τρόπο). Στον Euler πιστώνονται τουλάχιστον τέσσερα από τα “Δέκα πιο όμορφα θεωρήματα” που επιλέχθηκαν από ένα περιοδικό μαθηματικών. Σε μια ξεχωριστή λίστα (“Εκατό πιο σημαντικά θεωρήματα”) που προετοιμάστηκε για ένα συνέδριο για τα μαθηματικά το 1999, ο Euler πιστώνεται με επτά από τα θεωρήματα, πολύ πιο μπροστά από οποιονδήποτε άλλο εκτός από τον Ευκλείδη.

Ο Euler συνδύασε τη λάμψη του με την εκπληκτική συγκέντρωση. Ανέπτυξε την πρώτη μέθοδο για να εκτιμήσει την τροχιά της Σελήνης (το πρόβλημα των τριών σωμάτων που είχε απασχολήσει τον Νεύτωνα) και διευθέτησε μια αριθμητική διαμάχη που περιελάμβανε 50 όρους σε μια μακρά συγκλίνουσα σειρά. Και τα δύο αυτά κατορθώματα επιτεύχθηκαν όταν ήταν εντελώς τυφλός. (Σχετικά με αυτό είπε “Τώρα θα έχω λιγότερο περισπασμό.”) Ο Φρανσουά Αραγκό είπε ότι “Ο Όιλερ υπολόγιζε χωρίς εμφανή προσπάθεια, όπως οι άνθρωποι αναπνέουν ή όπως οι αετοί συντηρούνται στον άνεμο.”

Τέσσερα από τα πιο σημαντικά σύμβολα σταθερών στα μαθηματικά (π, e, i = √-1, και γ = 0,57721566…) εισήχθησαν όλα ή διαδόθηκαν από τον Euler, μαζί με τελεστές όπως ο (Σ). Έκανε σημαντική δουλειά με τη συνάρτηση ζήτα του Riemann (αν και τότε δεν ήταν γνωστή με αυτό το όνομα). Ο Euler ξεκίνησε ως νεαρός μαθητής της οικογένειας Bernoulli και ήταν συγκάτοικος του Daniel Bernoulli στην Αγία Πετρούπολη, όπου ο Euler προσλήφθηκε για πρώτη φορά ως δάσκαλος φυσιολογίας. Όμως, στην ηλικία των είκοσι οκτώ, ο Euler ανακάλυψε την εντυπωσιακή ταυτότητα

    \[\zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{6}\]

Αυτό έκανε τον Euler να αποκτήσει αμέσως φήμη. Ο Euler και άλλοι ανέπτυξαν εναλλακτικές αποδείξεις και γενικεύσεις αυτού του «προβλήματος της Βασιλείας», και φυσικά η συνάρτηση ζ (ζήτα) είναι πλέον πολύ διάσημη. Μεταξύ πολλών άλλων διάσημων και σημαντικών ταυτοτήτων, ο Euler απέδειξε το Πεντάγωνο Θεώρημα Αριθμών και τον τύπο

    \[\zeta(s)=\Pi (1-p^{-s})^{-1}\]

Αυτή η φόρμουλα προϊόντος οδηγεί απευθείας στο θεώρημα των πρώτων αριθμού του Riemann, με τη σχετική υπόθεση Riemann.

Ακόμη πιο διάσημη είναι η ταυτότητα (την οποία ο Richard Feynman αποκάλεσε «σχεδόν εκπληκτικό… κόσμημα») που ενοποιεί τις τριγωνομετρικές και εκθετικές συναρτήσεις

    \[e^{i x}=\cos(x)+i\sin(x)\]

Και είναι σχεδόν θαυμαστό πώς η συγκεκριμένη εξίσωση

    \[e^{i\pi}+1=0\]

συνδυάζει τις πιο σημαντικές σταθερές μαζί.

Αιγυπτιακά Μαθηματικά

Οι πρώτοι Αιγύπτιοι εγκαταστάθηκαν κατά μήκος της εύφορης κοιλάδας του Νείλου περίπου το 6000 π.Χ. και άρχισαν να καταγράφουν τα μοτίβα των σεληνιακών φάσεων και των εποχών, τόσο για γεωργικούς όσο και για θρησκευτικούς λόγους.

Οι επιθεωρητές του Φαραώ χρησιμοποίησαν μετρήσεις με βάση τα μέρη του σώματος (μια παλάμη ήταν το πλάτος του χεριού, μια πήχη η μέτρηση από τον αγκώνα μέχρι τα δάχτυλα) για να μετρήσουν τη γη και τα κτίρια πολύ νωρίς στην αιγυπτιακή ιστορία, και ένα δεκαδικό αριθμητικό σύστημα αναπτύχθηκε με βάση τα δέκα μας δάχτυλα. Ωστόσο, το παλαιότερο μαθηματικό κείμενο από την αρχαία Αίγυπτο που έχει ανακαλυφθεί μέχρι στιγμής, είναι ο Πάπυρος της Μόσχας, ο οποίος χρονολογείται από το Αιγυπτιακό Μέσο Βασίλειο περίπου το 2000 – 1800 π.Χ.

Αρχαίο Αιγυπτιακό Αριθμητικό Σύστημα

Θεωρείται ότι οι Αιγύπτιοι εισήγαγαν το αρχαιότερο πλήρως ανεπτυγμένο σύστημα αρίθμησης βάσης 10 τουλάχιστον ήδη από το 2700 π.Χ. (και πιθανώς πολύ νωρίς). Οι γραπτοί αριθμοί χρησιμοποίησαν μια κάθετη γραμμή για τις μονάδες, ένα πέταλο για δεκάδες, μια σπείρα για εκατοντάδες και ένα φυτό λωτού για χιλιάδες, καθώς και άλλα ιερογλυφικά σύμβολα για υψηλότερες δυνάμεις από δέκα έως και ένα εκατομμύριο.

Αιγυπτιακό σύστημα αρίθμησης

Ωστόσο, δεν υπήρχε η έννοια της αξίας θέσης, επομένως οι μεγαλύτεροι αριθμοί ήταν μάλλον δύσχρηστοι (αν και ένα εκατομμύριο απαιτούσε μόνο έναν χαρακτήρα, ένα εκατομμύριο μείον ένα απαιτούσε πενήντα τέσσερις χαρακτήρες).
Ο πάπυρος Rhind, που χρονολογείται γύρω στο 1650 π.Χ., είναι ένα είδος εγχειριδίου οδηγιών στην αριθμητική και τη γεωμετρία, και μας δίνει σαφείς επιδείξεις για το πώς γινόταν ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση εκείνη την εποχή. Περιέχει επίσης στοιχεία για άλλες μαθηματικές γνώσεις, συμπεριλαμβανομένων κλασμάτων μονάδας, σύνθετων και πρώτων αριθμών, αριθμητικών, γεωμετρικών και αρμονικών μέσων και πώς να λύσετε γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης καθώς και αριθμητικές και γεωμετρικές σειρές. Ο Πάπυρος του Βερολίνου, που χρονολογείται γύρω στο 1300 π.Χ., δείχνει ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι μπορούσαν να λύσουν αλγεβρικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού.

Ο πολλαπλασιασμός, για παράδειγμα, επιτεύχθηκε με μια διαδικασία επαναλαμβανόμενου διπλασιασμού του αριθμού που πρέπει να πολλαπλασιαστεί στη μία πλευρά και του ενός στην άλλη, ουσιαστικά ένα είδος πολλαπλασιασμού δυαδικών παραγόντων παρόμοιων με αυτόν που χρησιμοποιείται από σύγχρονους υπολογιστές. Αυτό χρησιμοποίησε αποτελεσματικά την έννοια των δυαδικών αριθμών, πάνω από 3.000 χρόνια πριν τον εισαγάγει ο Leibniz στη Δύση, και πολλά ακόμη χρόνια πριν η ανάπτυξη του υπολογιστή ήταν να εξερευνήσει πλήρως τις δυνατότητές του.

Τα πρακτικά προβλήματα του εμπορίου και της αγοράς οδήγησαν στην ανάπτυξη μιας σημειογραφίας για τα κλάσματα. Οι πάπυροι που μας έχουν φτάσει καταδεικνύουν τη χρήση μοναδιαίων κλασμάτων με βάση το σύμβολο του ματιού του Ώρου, όπου κάθε μέρος του ματιού αντιπροσώπευε ένα διαφορετικό κλάσμα, κάθε μισό του προηγούμενου (δηλαδή μισό, τέταρτο, όγδοο, δέκατο έκτο , τριάντα δεύτερο, εξήντα τέταρτο), έτσι ώστε το σύνολο ήταν ένα εξήντα τέταρτο λιγότερο από ένα σύνολο, το πρώτο γνωστό παράδειγμα μιας γεωμετρικής σειράς.

Τα μοναδιαία κλάσματα θα μπορούσαν επίσης να χρησιμοποιηθούν για απλά αθροίσματα διαίρεσης. Για παράδειγμα, αν χρειαζόταν να χωρίσουν 3 ψωμιά σε 5 άτομα, θα χώριζαν πρώτα δύο από τα ψωμιά σε τρίτα και το τρίτο καρβέλι σε πέμπτα, μετά θα χώριζαν το υπόλοιπο ένα τρίτο από το δεύτερο καρβέλι σε πέντε κομμάτια. Έτσι, κάθε άτομο θα λάμβανε το ένα τρίτο συν ένα πέμπτο συν ένα δέκατο πέμπτο (το οποίο είναι συνολικά τρία πέμπτα, όπως θα περιμέναμε).

Οι Αιγύπτιοι προσέγγισαν το εμβαδόν ενός κύκλου χρησιμοποιώντας σχήματα των οποίων το εμβαδόν γνώριζαν. Παρατήρησαν ότι το εμβαδόν ενός κύκλου διαμέτρου 9 μονάδων, για παράδειγμα, ήταν πολύ κοντά στο εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρές 8 μονάδων, έτσι ώστε το εμβαδόν των κύκλων άλλων διαμέτρων μπορούσε να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας τη διάμετρο επί 8⁄ 9 και στη συνέχεια τετραγωνίζοντας το. Αυτό δίνει μια αποτελεσματική προσέγγιση του π ακριβείας σε λιγότερο από ένα τοις εκατό.

Οι ίδιες οι πυραμίδες είναι μια άλλη ένδειξη της πολυπλοκότητας των αιγυπτιακών μαθηματικών. Παραμερίζοντας τους ισχυρισμούς ότι οι πυραμίδες είναι οι πρώτες γνωστές δομές που παρατηρούν τη χρυσή αναλογία 1:1.618 (η οποία μπορεί να συνέβη για καθαρά αισθητικούς και όχι μαθηματικούς λόγους), υπάρχουν σίγουρα στοιχεία ότι γνώριζαν τον τύπο για τον όγκο μιας πυραμίδας – 1⁄3 φορές το ύψος επί το μήκος επί το πλάτος – καθώς και μιας κόλουρης ή κομμένης πυραμίδας.

Γνώριζαν επίσης, πολύ πριν από τον Πυθαγόρα, τον κανόνα ότι ένα τρίγωνο με πλευρές 3, 4 και 5 μονάδες δίνει τέλεια ορθή γωνία, και οι Αιγύπτιοι οικοδόμοι χρησιμοποιούσαν σχοινιά δεμένα με κόμπους σε διαστήματα 3, 4 και 5 μονάδων για να εξασφαλίσουν την ακριβή ορθή γωνία. γωνίες για την λιθοδομή τους (στην πραγματικότητα, το ορθογώνιο τρίγωνο 3-4-5 ονομάζεται συχνά «αιγυπτιακό»).

Ανρί Πουανκαρέ

Ο Jules Henri Poincaré ίδρυσε τη θεωρία της αλγεβρικής (συνδυαστικής) τοπολογίας και μερικές φορές αποκαλείται «Πατέρας της Τοπολογίας» (τίτλος που χρησιμοποιείται επίσης για τους Euler και Brouwer). Έκανε επίσης εξαιρετική δουλειά σε πολλούς άλλους τομείς των μαθηματικών. Ήταν ένας από τους πιο δημιουργικούς μαθηματικούς όλων των εποχών και ο μεγαλύτερος μαθηματικός του κονστρουκτιβιστικού στυλ («διαισθητικός»). Δημοσίευσε εκατοντάδες εργασίες για διάφορα θέματα και θα μπορούσε να γίνει ο πιο παραγωγικός μαθηματικός ποτέ, αλλά πέθανε στο απόγειο των δυνάμεών του. Ο Πουανκαρέ ήταν αδέξιος και αδιάφορος. Όπως και ο Γκαλουά, σχεδόν του αρνήθηκαν την εισαγωγή στο Γαλλικό Πανεπιστήμιο.
Ο Πουανκαρέ είναι πιο διάσημος και σημαντικός για τα θεωρήματα τοπολογίας του, αλλά βοήθησε επίσης να τεθούν τα θεμέλια της ομολογίας. Ανακάλυψε αυτομορφικές συναρτήσεις (ένα ενοποιητικό θεμέλιο για τις τριγωνομετρικές και ελλειπτικές συναρτήσεις). Ουσιαστικά ίδρυσε τη θεωρία των περιοδικών τροχιών και έκανε σημαντικές προόδους στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων. Του πιστώνεται η μερική επίλυση του 22ου Προβλήματος του Χίλμπερτ. Αρκετά σημαντικά αποτελέσματα φέρουν το όνομά του, για παράδειγμα το περίφημο Θεώρημα της Επανάληψης του Πουανκαρέ, το οποίο φαίνεται σχεδόν να έρχεται σε αντίθεση με τον Δεύτερο Νόμο της Θερμοδυναμικής. Ο Πουανκαρέ είναι ιδιαίτερα γνωστός για την αποτελεσματική ανακάλυψη της θεωρίας του χάους και για την τοποθέτηση της εικασίας του Πουανκαρέ. Η εικασία ήταν ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά για έναν ολόκληρο αιώνα, και μπορεί να εξηγηθεί πολύ απλά χωρίς εξισώσεις. Η εικασία είναι ότι όλες οι “απλά συνδεδεμένες” κλειστές πολλαπλότητες είναι τοπολογικά ισοδύναμες με “σφαίρες”. Έχει άμεση σχέση με την πιθανή τοπολογία του σύμπαντος μας. Πρόσφατα ο Γκριγκόρι Πέρελμαν απέδειξε την εικασία του Πουανκαρέ και είναι επιλέξιμος για το πρώτο βραβείο μαθηματικών εκατομμυρίων δολαρίων στην ιστορία.

Όπως και οι περισσότεροι από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς, ο Πουανκαρέ ενδιαφέρθηκε έντονα για τη φυσική. Έκανε επαναστατικές προόδους στη δυναμική των ρευστών και στις ουράνιες κινήσεις. προέβλεψε τον χώρο Minkowski και μεγάλο μέρος της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας του Αϊνστάιν (συμπεριλαμβανομένης της περίφημης εξίσωσης E = mc2). Ο Πουανκαρέ βρήκε επίσης χρόνο για να γίνει δημοφιλής συγγραφέας της φιλοσοφίας, γράφοντας “Τα μαθηματικά είναι η τέχνη του να δίνεις το ίδιο όνομα σε διαφορετικά πράγματα”, “Ένας [άξιος] μαθηματικός βιώνει στο έργο του την ίδια εντύπωση με έναν καλλιτέχνη· η ευχαρίστησή του είναι τόσο μεγάλη και της ίδιας φύσης” και “Αν η φύση δεν ήταν όμορφη, δεν θα άξιζε να τη γνωρίζεις, και αν η φύση δεν άξιζε να τη γνωρίζεις, η ζωή δεν θα άξιζε να τη ζεις”. Με τη φήμη του, ο Πουανκαρέ βοήθησε τον κόσμο να αναγνωρίσει τη σημασία των νέων φυσικών θεωριών του Αϊνστάιν και του Πλανκ.