Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους, ο «Πρίγκιπας των Μαθηματικών», έδειξε τις υπολογιστικές του δυνάμεις όταν διόρθωσε την αριθμητική του πατέρα του πριν από την ηλικία των τριών ετών. Η επαναστατική του φύση φάνηκε σε ηλικία δώδεκα ετών, όταν άρχισε να αμφισβητεί τα αξιώματα του Ευκλείδη. Η ιδιοφυΐα του επιβεβαιώθηκε σε ηλικία δεκαεννέα ετών, όταν απέδειξε ότι το κανονικό n-γωνο ήταν κατασκευάσιμο αν και μόνο αν είναι το γινόμενο διακριτών πρώτων αριθμών Fermat. (Δεν ολοκλήρωσε την απόδειξη του). Επίσης, σε ηλικία 19 ετών, απέδειξε την εικασία του Fermat ότι κάθε αριθμός είναι το άθροισμα τριών τριγωνικών αριθμών. (Περαιτέρω προσδιόρισε τον αριθμό των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους θα μπορούσε να σχηματιστεί ένα τέτοιο άθροισμα). Σε ηλικία 24 ετών δημοσίευσε το Disquisitiones Arithmeticae, πιθανώς το μεγαλύτερο βιβλίο καθαρών μαθηματικών ποτέ.
Παρόλο που δημοσίευσε λιγότερες εργασίες από μερικούς άλλους σπουδαίους μαθηματικούς, ο Γκάους μπορεί να είναι ο μεγαλύτερος “αποδεδείκτης” θεωρημάτων. Πολλά σημαντικά θεωρήματα και λήμματα φέρουν το όνομά του. Η απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Αριθμητικής του Ευκλείδη (Μοναδική Πρωταρχική Παραγοντοποίηση) θεωρείται η πρώτη αυστηρή απόδειξη. επέκτεινε αυτό το Θεώρημα στους Γκαουσιανούς (σύνθετους) ακέραιους αριθμούς. και ήταν ο πρώτος που παρήγαγε μια αυστηρή απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας (ότι ένα πολυώνυμο ν-ου βαθμού έχει n μιγαδικές ρίζες). Το Theorema Egregium (“Σημαντικό Θεώρημα”) ότι η ουσιαστική καμπυλότητα μιας επιφάνειας που προέρχεται από τη δισδιάστατη γεωμετρία της έθεσε τα θεμέλια της διαφορικής γεωμετρίας. Ο ίδιος ο Gauss χρησιμοποίησε το “Θεμελιώδες Θεώρημα” για να αναφερθεί στο Νόμο του Euler για την Τετραγωνική Αμοιβαιότητα. Ο Gauss ήταν ο πρώτος που παρείχε μια απόδειξη για αυτό και παρείχε οκτώ διακριτές αποδείξεις για αυτό με τα χρόνια. (Αυτό το θεώρημα είναι τόσο ιδιαίτερο που έχει περισσότερες δημοσιευμένες αποδείξεις από οποιοδήποτε άλλο θεώρημα εκτός από το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ο Eisenstein, ο Kummer, ο Cauchy, ο Jacobi, ο Liouville και ο Lebesgue ανακάλυψαν καινούριες αποδείξεις του νόμου της τετραγωνικής αμοιβαιότητας). Ο Gauss απέδειξε την n= 3 περίπτωση του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά για ακέραιους αριθμούς του Αϊζενστάιν (τα τριγωνικά σημεία πλέγματος στο μιγαδικό επίπεδο). Αν και πιο γενική, η απόδειξη του Gauss ήταν απλούστερη. Αυτή η μέθοδος απλοποίησης έφερε επανάσταση στην άλγεβρα. Βρήκε επίσης μια απλούστερη απόδειξη για το Θεώρημα των Χριστουγέννων του Φερμά, εκμεταλλευόμενος την ταυτότητα x2+y2 = (x + iy)(x – iy). Άλλες εργασίες του Gauss οδήγησαν σε θεμελιώδη θεωρήματα στη στατιστική, την ανάλυση διανυσμάτων, τη θεωρία συναρτήσεων και γενικεύσεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Λογισμού.
Ο Γκάους δημιούργησε τη θεωρία των μιγαδικών αριθμών στη σύγχρονη μορφή της, συμπεριλαμβανομένης της έννοιας των «μονογονικών» συναρτήσεων που είναι πλέον πανταχού παρούσες στη μαθηματική φυσική. (Η κατασκευή του κανονικού 17-γωνου ως έφηβος ήταν στην πραγματικότητα μια άσκηση στην άλγεβρα μιγαδικών αριθμών, όχι στη γεωμετρία). Ο Γκάους έγινε ο κορυφαίος της θεωρίας αριθμών όλων των εποχών. Άλλες συνεισφορές του Gauss περιλαμβάνουν υπεργεωμετρικές σειρές, θεμέλια στατιστικής και διαφορική γεωμετρία. Έκανε επίσης σημαντικό έργο στη γεωμετρία, παρέχοντας μια βελτιωμένη λύση στο περίφημο πρόβλημα των εφαπτομένων κύκλων του Απολλώνιου, δηλώνοντας και αποδεικνύοντας το Θεμελιώδες Θεώρημα της Κανονικής Αξονομετρίας και λύνοντας αστρονομικά προβλήματα που σχετίζονται με τις τροχιές των κομητών και την πλοήγηση από τα αστέρια. Η Ceres, ο πρώτος αστεροειδής, ανακαλύφθηκε όταν ο Gauss ήταν νεαρός άνδρας, αλλά μόνο μερικές παρατηρήσεις έγιναν πριν εξαφανιστεί στη φωτεινότητα του Ήλιου. Θα μπορούσε η τροχιά του να προβλεφθεί αρκετά καλά ώστε να το ανακαλύψουμε ξανά κατά την επανεμφάνισή του; Ο Laplace, ένας από τους πιο σεβαστούς μαθηματικούς της εποχής, το δήλωσε αδύνατο. Ο Γκάους έγινε διάσημος όταν χρησιμοποίησε μια πολυωνυμική εξίσωση 8ου βαθμού για να προβλέψει με επιτυχία την τροχιά της Δήμητρας. Ο Gauss έκανε επίσης σημαντική δουλειά σε διάφορους τομείς της φυσικής, ανέπτυξε μια σημαντική τροποποίηση στην προβολή χάρτη του Mercator, εφηύρε το ηλιοτρόπιο και συν-εφηύρε τον τηλέγραφο.
Μεγάλο μέρος της δουλειάς του Gauss δεν δημοσιεύτηκε. Εν αγνοία των συναδέλφων του ήταν ο Gauss που ανακάλυψε για πρώτη φορά τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία (ακόμα και προβλέποντας τον Αϊνστάιν προτείνοντας ο φυσικός χώρος να μην είναι Ευκλείδειος), διπλά περιοδικές ελλειπτικές συναρτήσεις, τύπος πρώτης κατανομής, τεταρτοταγή, θεμέλια της τοπολογίας, ο νόμος των ελάχιστων τετραγώνων, ο τύπος αριθμών κλάσης του Dirichlet, το θεώρημα διαφορικής γεωμετρίας του Bonnet (τώρα συνήθως ονομάζεται Θεώρημα Gauss-Bonnet), η διαδικασία της πεταλούδας για τον γρήγορο υπολογισμό των σειρών Fourier, ακόμη και τα βασικά στοιχεία της θεωρίας κόμβων. Ο Gauss ήταν ο πρώτος που απέδειξε το Θεμελιώδες Θεώρημα των Συναρτήσεων μιας Μιγαδικής Μεταβλητής (ότι το ολοκλήρωμα γραμμής πάνω από μια κλειστή καμπύλη μιας μονογονικής συνάρτησης είναι μηδέν), αλλά άφησε τον Cauchy να πάρει τα εύσημα. Ο Γκάους ήταν πολύ παραγωγικός και μπορεί να είναι ο πιο λαμπρός μαθηματικός που έζησε ποτέ αλλά αρκετοί άλλοι στη λίστα είχαν μεγαλύτερη ιστορική σημασία. Ο Abel υπαινίσσεται έναν λόγο για αυτό: “Ο Γκάους είναι σαν την αλεπού, που σβήνει τα ίχνη της στην άμμο.”
Published by