Κατηγορία: Great minds

Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους, ο «Πρίγκιπας των Μαθηματικών», έδειξε τις υπολογιστικές του δυνάμεις όταν διόρθωσε την αριθμητική του πατέρα του πριν από την ηλικία των τριών ετών. Η επαναστατική του φύση φάνηκε σε ηλικία δώδεκα ετών, όταν άρχισε να αμφισβητεί τα αξιώματα του Ευκλείδη. Η ιδιοφυΐα του επιβεβαιώθηκε σε ηλικία δεκαεννέα ετών, όταν απέδειξε ότι το κανονικό n-γωνο ήταν κατασκευάσιμο αν και μόνο αν είναι το γινόμενο διακριτών πρώτων αριθμών Fermat. (Δεν ολοκλήρωσε την απόδειξη του). Επίσης, σε ηλικία 19 ετών, απέδειξε την εικασία του Fermat ότι κάθε αριθμός είναι το άθροισμα τριών τριγωνικών αριθμών. (Περαιτέρω προσδιόρισε τον αριθμό των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους θα μπορούσε να σχηματιστεί ένα τέτοιο άθροισμα). Σε ηλικία 24 ετών δημοσίευσε το Disquisitiones Arithmeticae, πιθανώς το μεγαλύτερο βιβλίο καθαρών μαθηματικών ποτέ.

Παρόλο που δημοσίευσε λιγότερες εργασίες από μερικούς άλλους σπουδαίους μαθηματικούς, ο Γκάους μπορεί να είναι ο μεγαλύτερος “αποδεδείκτης” θεωρημάτων. Πολλά σημαντικά θεωρήματα και λήμματα φέρουν το όνομά του. Η απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Αριθμητικής του Ευκλείδη (Μοναδική Πρωταρχική Παραγοντοποίηση) θεωρείται η πρώτη αυστηρή απόδειξη. επέκτεινε αυτό το Θεώρημα στους Γκαουσιανούς (σύνθετους) ακέραιους αριθμούς. και ήταν ο πρώτος που παρήγαγε μια αυστηρή απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας (ότι ένα πολυώνυμο ν-ου βαθμού έχει n μιγαδικές ρίζες). Το Theorema Egregium (“Σημαντικό Θεώρημα”) ότι η ουσιαστική καμπυλότητα μιας επιφάνειας που προέρχεται από τη δισδιάστατη γεωμετρία της έθεσε τα θεμέλια της διαφορικής γεωμετρίας. Ο ίδιος ο Gauss χρησιμοποίησε το “Θεμελιώδες Θεώρημα” για να αναφερθεί στο Νόμο του Euler για την Τετραγωνική Αμοιβαιότητα. Ο Gauss ήταν ο πρώτος που παρείχε μια απόδειξη για αυτό και παρείχε οκτώ διακριτές αποδείξεις για αυτό με τα χρόνια. (Αυτό το θεώρημα είναι τόσο ιδιαίτερο που έχει περισσότερες δημοσιευμένες αποδείξεις από οποιοδήποτε άλλο θεώρημα εκτός από το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ο Eisenstein, ο Kummer, ο Cauchy, ο Jacobi, ο Liouville και ο Lebesgue ανακάλυψαν καινούριες αποδείξεις του νόμου της τετραγωνικής αμοιβαιότητας). Ο Gauss απέδειξε την n= 3 περίπτωση του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά για ακέραιους αριθμούς του Αϊζενστάιν (τα τριγωνικά σημεία πλέγματος στο μιγαδικό επίπεδο). Αν και πιο γενική, η απόδειξη του Gauss ήταν απλούστερη. Αυτή η μέθοδος απλοποίησης έφερε επανάσταση στην άλγεβρα. Βρήκε επίσης μια απλούστερη απόδειξη για το Θεώρημα των Χριστουγέννων του Φερμά, εκμεταλλευόμενος την ταυτότητα x2+y2 = (x + iy)(x – iy). Άλλες εργασίες του Gauss οδήγησαν σε θεμελιώδη θεωρήματα στη στατιστική, την ανάλυση διανυσμάτων, τη θεωρία συναρτήσεων και γενικεύσεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Λογισμού.

Ο Γκάους δημιούργησε τη θεωρία των μιγαδικών αριθμών στη σύγχρονη μορφή της, συμπεριλαμβανομένης της έννοιας των «μονογονικών» συναρτήσεων που είναι πλέον πανταχού παρούσες στη μαθηματική φυσική. (Η κατασκευή του κανονικού 17-γωνου ως έφηβος ήταν στην πραγματικότητα μια άσκηση στην άλγεβρα μιγαδικών αριθμών, όχι στη γεωμετρία). Ο Γκάους έγινε ο κορυφαίος της θεωρίας αριθμών όλων των εποχών. Άλλες συνεισφορές του Gauss περιλαμβάνουν υπεργεωμετρικές σειρές, θεμέλια στατιστικής και διαφορική γεωμετρία. Έκανε επίσης σημαντικό έργο στη γεωμετρία, παρέχοντας μια βελτιωμένη λύση στο περίφημο πρόβλημα των εφαπτομένων κύκλων του Απολλώνιου, δηλώνοντας και αποδεικνύοντας το Θεμελιώδες Θεώρημα της Κανονικής Αξονομετρίας και λύνοντας αστρονομικά προβλήματα που σχετίζονται με τις τροχιές των κομητών και την πλοήγηση από τα αστέρια. Η Ceres, ο πρώτος αστεροειδής, ανακαλύφθηκε όταν ο Gauss ήταν νεαρός άνδρας, αλλά μόνο μερικές παρατηρήσεις έγιναν πριν εξαφανιστεί στη φωτεινότητα του Ήλιου. Θα μπορούσε η τροχιά του να προβλεφθεί αρκετά καλά ώστε να το ανακαλύψουμε ξανά κατά την επανεμφάνισή του; Ο Laplace, ένας από τους πιο σεβαστούς μαθηματικούς της εποχής, το δήλωσε αδύνατο. Ο Γκάους έγινε διάσημος όταν χρησιμοποίησε μια πολυωνυμική εξίσωση 8ου βαθμού για να προβλέψει με επιτυχία την τροχιά της Δήμητρας. Ο Gauss έκανε επίσης σημαντική δουλειά σε διάφορους τομείς της φυσικής, ανέπτυξε μια σημαντική τροποποίηση στην προβολή χάρτη του Mercator, εφηύρε το ηλιοτρόπιο και συν-εφηύρε τον τηλέγραφο.

Μεγάλο μέρος της δουλειάς του Gauss δεν δημοσιεύτηκε. Εν αγνοία των συναδέλφων του ήταν ο Gauss που ανακάλυψε για πρώτη φορά τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία (ακόμα και προβλέποντας τον Αϊνστάιν προτείνοντας ο φυσικός χώρος να μην είναι Ευκλείδειος), διπλά περιοδικές ελλειπτικές συναρτήσεις, τύπος πρώτης κατανομής, τεταρτοταγή, θεμέλια της τοπολογίας, ο νόμος των ελάχιστων τετραγώνων, ο τύπος αριθμών κλάσης του Dirichlet, το θεώρημα διαφορικής γεωμετρίας του Bonnet (τώρα συνήθως ονομάζεται Θεώρημα Gauss-Bonnet), η διαδικασία της πεταλούδας για τον γρήγορο υπολογισμό των σειρών Fourier, ακόμη και τα βασικά στοιχεία της θεωρίας κόμβων. Ο Gauss ήταν ο πρώτος που απέδειξε το Θεμελιώδες Θεώρημα των Συναρτήσεων μιας Μιγαδικής Μεταβλητής (ότι το ολοκλήρωμα γραμμής πάνω από μια κλειστή καμπύλη μιας μονογονικής συνάρτησης είναι μηδέν), αλλά άφησε τον Cauchy να πάρει τα εύσημα. Ο Γκάους ήταν πολύ παραγωγικός και μπορεί να είναι ο πιο λαμπρός μαθηματικός που έζησε ποτέ αλλά αρκετοί άλλοι στη λίστα είχαν μεγαλύτερη ιστορική σημασία. Ο Abel υπαινίσσεται έναν λόγο για αυτό: “Ο Γκάους είναι σαν την αλεπού, που σβήνει τα ίχνη της στην άμμο.”

Ο Λεονάρντο (γνωστός σήμερα ως Φιμπονάτσι) εισήγαγε το δεκαδικό σύστημα και άλλες νέες μεθόδους αριθμητικής στην Ευρώπη και μετέδωσε τα μαθηματικά των Ινδουιστών, των Περσών και των Αράβων. Άλλοι, ιδιαίτερα ο Γκέραρντ της Κρεμόνας, είχαν μεταφράσει Ισλαμικά μαθηματικά, π.χ. τα έργα του al-Khowârizmi, στα λατινικά, αλλά ο Λεονάρντο ήταν ο δάσκαλος με επιρροή. (Δύο αιώνες νωρίτερα, ο μαθηματικός-Πάπας, Gerbert of Aurillac, είχε προσπαθήσει ανεπιτυχώς να εισαγάγει το δεκαδικό σύστημα στην Ευρώπη). Ο Λεονάρντο εισήγαγε επίσης παλιότερες ελληνικές ιδέες όπως οι αριθμοί Mersenne και οι Διοφαντικές εξισώσεις. Τα γραπτά του καλύπτουν ένα πολύ ευρύ φάσμα, συμπεριλαμβανομένων νέων θεωρημάτων γεωμετρίας, μεθόδων κατασκευής και μετατροπής αιγυπτιακών κλασμάτων (που ήταν ακόμη σε ευρεία χρήση), άρρητους αριθμούς, το κινεζικό θεώρημα υπολοίπων, θεωρήματα για τα πυθαγόρεια τρίδυμα και την ακολουθία 1, 1, 2 , 3, 5, 8, 13, …. που τώρα συνδέεται με το όνομα Fibonacci. Εκτός από τη μεγάλη ιστορική του σημασία και φήμη (ήταν αγαπημένος του αυτοκράτορα Φρειδερίκου Β’), ο Λεονάρντο «Φιμπονάτσι» αποκαλείται «ο μεγαλύτερος θεωρητικός αριθμών μεταξύ Διόφαντου και Φερμά» και «ο πιο ταλαντούχος μαθηματικός του Μεσαίωνα».

Ο Λεονάρντο είναι πιο διάσημος για το βιβλίο του Liber Abaci, αλλά το Liber Quadratorum του παρέχει την καλύτερη επίδειξη της ικανότητάς του. Καθόρισε ομάδες και απέδειξε θεωρήματα σχετικά με αυτά, συμπεριλαμβανομένου ενός θεωρήματος που καθορίζει τις προϋποθέσεις για τρεις τετραγωνικούς αριθμούς να είναι σε διαδοχικές αριθμητικές σειρές. Αυτό έχει ονομαστεί το καλύτερο έργο στη θεωρία αριθμών πριν από τον Fermat (αν και μια παρόμοια δήλωση έγινε για ένα από τα θεωρήματα του Bhaskara II). Αν και συχνά παραβλέπεται, αυτή η εργασία περιλαμβάνει μια απόδειξη της περίπτωσης n = 4 του τελευταίου θεωρήματος του Fermat. (Η απόδειξη του Leonardo για το FLT4 (Fermat’s last theorem 4) αγνοείται ευρέως ή θεωρείται ελλιπής. Ο Al-Farisi ήταν ένας άλλος αρχαίος μαθηματικός που σημείωσε το FLT4, αν και δεν προσπάθησε να to αποδείξει). Ένα άλλο από τα αξιοσημείωτα επιτεύγματα του Leonardo ήταν η απόδειξη ότι οι ρίζες μιας ορισμένης κυβικής εξίσωσης δεν θα μπορούσαν να έχουν καμία από τις κατασκευάσιμες μορφές που είχε περιγράψει ο Ευκλείδης στο Βιβλίο 10 των Στοιχείων του. Έγραψε επίσης, αλλά δεν απέδειξε, το Θεώρημα του Wilson.

Ο Λεονάρντο παρείχε στην Ευρώπη το δεκαδικό σύστημα, την άλγεβρα και τη μέθοδο πολλαπλασιασμού του «πλέγματος», όλα πολύ ανώτερα από τις μεθόδους που χρησιμοποιούνταν τότε. Εισήγαγε σημειογραφία όπως το 3/5. Η έξυπνη επέκτασή του για ποσότητες όπως 5 γιάρδες, 2 πόδια και 3 ίντσες είναι πιο αποτελεσματική από τη σημερινή σημείωση. Φαίνεται δύσκολο να το πιστέψουμε, αλλά πριν από το δεκαδικό σύστημα, οι μαθηματικοί δεν είχαν συμβολισμό για το μηδέν. Αναφερόμενος σε αυτό το σύστημα, ο Γκάους έπρεπε αργότερα να αναφωνήσει «Σε ποια ύψη θα έφτανε τώρα η επιστήμη αν ο Αρχιμήδης είχε κάνει αυτή την ανακάλυψη!».

Ορισμένες ιστορίες τον περιγράφουν ότι έφερε τα ισλαμικά μαθηματικά στην Ευρώπη, αλλά στον πρόλογο του ίδιου του Φιμπονάτσι στο Liber Abaci, πιστώνει συγκεκριμένα στους Ινδουιστές:

… ως συνέπεια της θαυμάσιας διδασκαλίας στην τέχνη, στα εννέα ψηφία των Ινδουιστών, η γνώση της τέχνης με ελκύησε πολύ πριν από όλες τις άλλες, και γι’ αυτήν συνειδητοποίησα ότι όλες οι πτυχές της μελετήθηκαν στην Αίγυπτο, τη Συρία , Ελλάδα, Σικελία και Προβηγκία, με τις ποικίλες μεθόδους τους.
… Αλλά όλα αυτά, καθώς και την τέχνη του Πυθαγόρα, τα θεώρησα σχεδόν ως λάθος σε σχέση με τη μέθοδο των Ινδουιστών. Επομένως, ασπαζόμενος πιο αυστηρά αυτή τη μέθοδο των Ινδουιστών, και με πιο αυστηρούς κόπους στη μελέτη της, προσθέτοντας ορισμένα πράγματα από τη δική μου κατανόηση και εισάγοντας επίσης ορισμένα πράγματα από τις ωραιότητες της γεωμετρικής τέχνης του Ευκλείδη, προσπάθησα να συνθέσω αυτό το βιβλίο στο σύνολό του όσο πιο κατανοητό μπορούσα…

Αν η Επιστημονική Αναγέννηση είχε ξεκινήσει στην Ισλαμική Αυτοκρατορία, κάποιος όπως ο al-Khowârizmi θα είχε μεγαλύτερη ιστορική σημασία από τον Fibonacci, αλλά η Αναγέννηση συνέβη στην Ευρώπη. Η περίληψη του δεκαδικού συστήματος του Liber Abaci ονομάστηκε «η πιο σημαντική πρόταση που γράφτηκε ποτέ». Ακόμη και αν αυτό είναι υπερβολή, δεν υπάρχει αμφιβολία ότι η Επιστημονική Επανάσταση οφείλει ένα τεράστιο χρέος στον Λεονάρντο «Φιμπονάτσι» Πιζάνο.

Ο Πυθαγόρας, που μερικές φορές αποκαλείται «Πρώτος Φιλόσοφος», σπούδασε κοντά στον Αναξίμανδρο, τους Αιγύπτιους, τους Βαβυλώνιους και τον μυστικιστή Φερεκύδη (από τον οποίο ο Πυθαγόρας απέκτησε την πίστη στη μετενσάρκωση). Έγινε ο πιο σημαντικός από τους πρώτους Έλληνες μαθηματικούς. Του πιστώνεται ότι ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε αξιώματα και επαγωγικές αποδείξεις, επομένως η επιρροή του στον Πλάτωνα και τον Ευκλείδη μπορεί να είναι τεράστια. Γενικά του αποδίδεται μεγάλο μέρος των Βιβλίων Ι και ΙΙ των Στοιχείων του Ευκλείδη. Αυτός και οι μαθητές του (οι «Πυθαγόρειοι») ήταν ασκητές μυστικιστές για τους οποίους τα μαθηματικά ήταν εν μέρει πνευματικό εργαλείο. (Μερικοί αποκρυφιστές αντιμετωπίζουν τον Πυθαγόρα ως μάγο και ιδρυτή μυστικιστή φιλόσοφο). Ο Πυθαγόρας ενδιαφερόταν πολύ για την αστρονομία και φαίνεται ότι ήταν ο πρώτος άνθρωπος που συνειδητοποίησε ότι η Γη ήταν μια σφαίρα παρόμοια με τους άλλους πλανήτες. Αυτός και οι οπαδοί του άρχισαν να μελετούν το ζήτημα των κινήσεων των πλανητών, το οποίο δεν θα επιλυόταν για περισσότερες από δύο χιλιετίες. Οι λέξεις φιλοσοφία και μαθηματικά λέγεται ότι επινοήθηκαν από τον Πυθαγόρα. Υποτίθεται ότι εφηύρε το Πυθαγόρειο Κύπελλο, ένα έξυπνο κύπελλο κρασιού που τιμωρεί έναν πότη που γεμίζει άπληστα το φλιτζάνι του μέχρι την κορυφή, χρησιμοποιώντας στη συνέχεια την πίεση του σιφονιού για να στραγγίξει το φλιτζάνι.

Ο Πυθαγόρας κατατάσσεται στο #10 στη λίστα δημοτικότητας/παραγωγικότητας του Pantheon, αλλά παρά την ιστορική του σημασία μπορεί να τον κατατάσσεται πολύ ψηλά. Πολλά αποτελέσματα των Πυθαγορείων οφείλονταν στους μαθητές του, κανένα από τα γραπτά τους δεν σώζεται, και όσα είναι γνωστά αναφέρονται μεταχειρισμένα, και πιθανώς υπερβολικά, από τον Πλάτωνα και άλλους. Ορισμένες ιδέες που του αποδίδονται πιθανώς διατυπώθηκαν για πρώτη φορά από διαδόχους όπως ο Παρμενίδης από την Ελέα (περίπου 515-440 π.Χ.).

Οι μαθητές του Πυθαγόρα περιλάμβαναν τον Ιππάσο του Μεταπόντου, τον διάσημο ανατόμο και γιατρό Αλκμαίωνα (ο οποίος ήταν ο πρώτος που ισχυρίστηκε ότι η σκέψη εμφανιζόταν στον εγκέφαλο και όχι στην καρδιά), τον Μήλωνα του Κρότωνα και την κόρη του Μήλωνα, Θεανώ (που μπορεί να ήταν σύζυγος του Πυθαγόρα). Ο όρος Πυθαγόρειος υιοθετήθηκε επίσης από πολλούς μαθητές που έζησαν αργότερα. Αυτοί οι μαθητές περιλαμβάνουν τον Φιλόλαο του Κρότωνα, τον φυσικό φιλόσοφο Εμπεδοκλή και αρκετούς άλλους διάσημους Έλληνες. Διάδοχος του Πυθαγόρα ήταν προφανώς η ίδια η Θεανώ. Οι Πυθαγόρειοι ήταν μια από τις λίγες αρχαίες σχολές που ασκούσαν την ισότητα των φύλων.

Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε ότι τα αρμονικά διαστήματα στη μουσική βασίζονται σε απλούς ρητούς αριθμούς. Αυτό οδήγησε σε μια γοητεία με τους ακέραιους αριθμούς και τη μυστικιστική αριθμολογία. Μερικές φορές αποκαλείται «Πατέρας των Αριθμών» και κάποτε είπε «Ο αριθμός κυβερνά το σύμπαν». (Σχετικά με τη μαθηματική βάση της μουσικής, ο Leibniz έγραψε αργότερα, “Η μουσική είναι η ευχαρίστηση που βιώνει η ανθρώπινη ψυχή από το μέτρημα χωρίς να γνωρίζει ότι μετράει”. Άλλοι μαθηματικοί που ερεύνησαν την αριθμητική της μουσικής ήταν οι Huygens, Euler και Simon Stevin). Για οποιουσδήποτε αριθμούς a και b οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν τα τρία διακριτά μέσα: (a+b)/2 (αριθμητικός μέσος όρος), √(ab) (γεωμετρικός μέσος όρος) και 2ab/(a+b) (αρμονικός μέσος όρος).

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα ήταν γνωστό πολύ πριν από τον Πυθαγόρα, αλλά συχνά του αποδίδονταν (πριν την ανακάλυψη ενός αρχαίου κινεζικού κειμένου) την πρώτη απόδειξη. Μπορεί να ανακάλυψε την απλή παραμετρική μορφή των Πυθαγόρειων τριδύμων (xx-yy, 2xy, xx+yy), αν και η πρώτη ρητή αναφορά γι’ αυτό μπορεί να είναι στα Στοιχεία του Ευκλείδη. (αυτός ο τύπος ήταν πιθανώς γνωστός στη Βαβυλωνία πάνω από 1000 χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα). Άλλες ανακαλύψεις της Πυθαγόρειας σχολής περιλαμβάνουν την κατασκευή του κανονικού πενταγώνου, έννοιες τέλειων και φίλιων αριθμών, πολυγωνικούς αριθμούς, χρυσή αναλογία (που αποδίδεται στη Θεανώ), τρία από τα πέντε κανονικά στερεά (που αποδίδονται στον ίδιο τον Πυθαγόρα) και άρρητους αριθμούς (που αποδίδονται στον Ίππασο). Λέγεται ότι η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών αναστάτωσε τους Πυθαγόρειους τόσο πολύ που πέταξαν τον Ίππασο στον ωκεανό! (Μια άλλη εκδοχή εξόρισε τον Ιππάσο επειδή αποκάλυψε το μυστικό για την κατασκευή της σφαίρας που περικλείει ένα δωδεκάεδρο.)

Εκτός από τον Παρμενίδη, οι διάσημοι διάδοχοι του Θαλή και του Πυθαγόρα περιλαμβάνουν τον Ζήνωνα της Ελέας, τον Ιπποκράτη τον Χίο, τον Πλάτωνα τον Αθηναίο (περίπου 428-348 π.Χ.), τον Θεαίτητο και τον Αρχύτα. Αυτοί οι πρώτοι Έλληνες εγκαινίασαν μια Χρυσή Εποχή των Μαθηματικών και της Φιλοσοφίας απαράμιλλη στην Ευρώπη μέχρι την Αναγέννηση. Η έμφαση δόθηκε στα καθαρά, παρά στα πρακτικά, μαθηματικά. Ο Πλάτωνας (ο οποίος κατατάσσεται #40 στη διάσημη λίστα του Μάικλ Χαρτ με τα Πρόσωπα με τη μεγαλύτερη επιρροή στην Ιστορία) αποφάσισε ότι οι μελετητές του πρέπει να κάνουν γεωμετρική κατασκευή αποκλειστικά με κανόνα και διαβήτη και όχι με «εργαλεία ξυλουργού» όπως χάρακες και μοιρογνωμόνια.

Ο Euler μπορεί να είναι ο μαθηματικός με τη μεγαλύτερη επιρροή που έζησε ποτέ (αν και κάποιοι θα τον θεωρούσαν δεύτερο μετά τον Ευκλείδη). κατατάσσεται #77 στη διάσημη λίστα του Μάικλ Χαρτ με τα Πρόσωπα με τη μεγαλύτερη επιρροή στην Ιστορία. Οι συνάδελφοί του τον αποκαλούσαν «Ενσαρκωμένη Ανάλυση». Ο Laplace, διάσημος επειδή αρνήθηκε τα εύσημα σε άλλους μαθηματικούς, είπε κάποτε «Διαβάστε τον Euler: είναι ο δάσκαλός μας σε όλα». Οι σημειώσεις και οι μέθοδοί του σε πολλούς τομείς χρησιμοποιούνται μέχρι σήμερα. Ο Euler ήταν ο πιο παραγωγικός μαθηματικός στην ιστορία. Μερικοί μελετητές κατατάσσουν την “Introductio in analysin infinitorum” του 1748 πάνω από τη “Géométrie” του Ντεκάρτ, τις “Disquisitiones” του Γκάους, ακόμη και το “Principia Mathematica” του Νεύτωνα.

Όπως ο Αρχιμήδης επέκτεινε τη γεωμετρία του Ευκλείδη, έτσι και ο Όιλερ εκμεταλλεύτηκε θαυμάσια την ανάλυση του Νεύτωνα και του Λάιμπνιτς. Έδωσε επίσης στον κόσμο τη σύγχρονη τριγωνομετρία. Πρωτοστάτησε (μαζί με τον Lagrange) στον λογισμό των παραλλαγών. Γενίκευσε και απέδειξε τους τύπους Newton-Giraud και είχε σημαντική συνεισφορά στην άλγεβρα, π.χ. η μελέτη του για τις υπεργεωμετρικές σειρές. Ήταν επίσης άριστος στα διακριτά μαθηματικά, εφευρίσκοντας τη θεωρία γραφημάτων. Ο Euler έγραψε την πρώτη οριστική πραγματεία για τα συνεχή κλάσματα, καθιερώνοντας πολλά βασικά θεωρήματα για αυτό το σημαντικό θέμα. Αν και η εφεύρεση της δημιουργίας συναρτήσεων αποδίδεται στον DeMoivre, ο Euler εκμεταλλεύτηκε εξαιρετικά την ιδέα: για παράδειγμα, αφήνοντας το p(n) να υποδηλώνει τον αριθμό των διαμερίσεων του n, ο Euler βρήκε την υπέροχη εξίσωση:

   

Ο Euler βρήκε μια έξυπνη απόδειξη γι’ αυτό που τώρα ονομάζεται “μια από τις πιο βαθιές ανακαλύψεις του”, σχετική με τη θεωρία των ελλειπτικών αρθρωτών συναρτήσεων.

Ο Euler ήταν ένας πολύ σημαντικός στη θεωρία αριθμών. Απέδειξε ότι το άθροισμα των αντίστροφων πρώτων αριθμών αποκλίνει (και είναι περίπου ln (ln (p)) αν αθροιστούν οι πρώτοι αντίστροφοι μέχρι το 1/p). Εφηύρε τη συνάρτηση “Φ” και τη χρησιμοποίησε για να γενικεύσει το Μικρό Θεώρημα του Φερμά, βρήσκοντας τόσο τον μεγαλύτερο τότε γνωστό πρώτο όσο και τον μεγαλύτερο τότε γνωστό τέλειο αριθμό, απέδειξε ότι ο e είναι άρρητος, ανακάλυψε (αν και χωρίς πλήρη απόδειξη) μια ευρεία κατηγορία υπερβατικών αριθμών , απέδειξε ότι όλοι οι ακόμη τέλειοι αριθμοί πρέπει να έχουν την αριθμητική μορφή Mersenne που είχε ανακαλύψει ο Ευκλείδης 2000 χρόνια νωρίτερα, και πολλά άλλα. Ο Euler ήταν επίσης πρώτος που απέδειξε αρκετά ενδιαφέροντα θεωρήματα γεωμετρίας, σχέσεις μεταξύ των υψών ενός τριγώνου, των διαμέσου και των περιγραμμένων και εγγεγραμμένων κύκλων. Το περίφημο Θεώρημα Διασταυρωμένων Χορδών. και μια έκφραση για τον όγκο ενός τετραέδρου ως προς τα μήκη των ακμών του. Ο Euler ήταν ο πρώτος που εξερεύνησε την τοπολογία, αποδεικνύοντας θεωρήματα για τη χαρακτηριστική του Euler, και το περίφημο πολυεδρικό θεώρημα του Euler, F+V = E+2 (αν και μπορεί να ανακαλύφθηκε από τον Descartes και να αποδείχθηκε για πρώτη φορά αυστηρά από τον Jordan). Αν και σημειώθηκε ως ο πρώτος μεγάλος «καθαρός μαθηματικός», οι εξισώσεις αντλίας και στροβίλου του Euler έφεραν επανάσταση στο σχεδιασμό των αντλιών. Έκανε επίσης σημαντική συμβολή στη θεωρία της μουσικής, την ακουστική, την οπτική, τις ουράνιες κινήσεις, τη δυναμική των ρευστών και τη μηχανική. Επέκτεινε τους Νόμους της Κίνησης του Νεύτωνα σε περιστρεφόμενα άκαμπτα σώματα. και ανέπτυξε την εξίσωση δέσμης Euler-Bernoulli. Σε μια πιο ελαφριά νότα, ο Euler κατασκεύασε ένα ιδιαίτερα «μαγικό» μαγικό τετράγωνο.

Ο Euler πιστώνεται με την πρώτη απόδειξη του Θεωρήματος των Χριστουγέννων του Fermat (ένας πρώτος της μορφής 4k+1 είναι το άθροισμα δύο τετραγώνων με έναν ακριβώς τρόπο). Στον Euler πιστώνονται τουλάχιστον τέσσερα από τα “Δέκα πιο όμορφα θεωρήματα” που επιλέχθηκαν από ένα περιοδικό μαθηματικών. Σε μια ξεχωριστή λίστα (“Εκατό πιο σημαντικά θεωρήματα”) που προετοιμάστηκε για ένα συνέδριο για τα μαθηματικά το 1999, ο Euler πιστώνεται με επτά από τα θεωρήματα, πολύ πιο μπροστά από οποιονδήποτε άλλο εκτός από τον Ευκλείδη.

Ο Euler συνδύασε τη λάμψη του με την εκπληκτική συγκέντρωση. Ανέπτυξε την πρώτη μέθοδο για να εκτιμήσει την τροχιά της Σελήνης (το πρόβλημα των τριών σωμάτων που είχε απασχολήσει τον Νεύτωνα) και διευθέτησε μια αριθμητική διαμάχη που περιελάμβανε 50 όρους σε μια μακρά συγκλίνουσα σειρά. Και τα δύο αυτά κατορθώματα επιτεύχθηκαν όταν ήταν εντελώς τυφλός. (Σχετικά με αυτό είπε “Τώρα θα έχω λιγότερο περισπασμό.”) Ο Φρανσουά Αραγκό είπε ότι “Ο Όιλερ υπολόγιζε χωρίς εμφανή προσπάθεια, όπως οι άνθρωποι αναπνέουν ή όπως οι αετοί συντηρούνται στον άνεμο.”

Τέσσερα από τα πιο σημαντικά σύμβολα σταθερών στα μαθηματικά (π, e, i = √-1, και γ = 0,57721566…) εισήχθησαν όλα ή διαδόθηκαν από τον Euler, μαζί με τελεστές όπως ο (Σ). Έκανε σημαντική δουλειά με τη συνάρτηση ζήτα του Riemann (αν και τότε δεν ήταν γνωστή με αυτό το όνομα). Ο Euler ξεκίνησε ως νεαρός μαθητής της οικογένειας Bernoulli και ήταν συγκάτοικος του Daniel Bernoulli στην Αγία Πετρούπολη, όπου ο Euler προσλήφθηκε για πρώτη φορά ως δάσκαλος φυσιολογίας. Όμως, στην ηλικία των είκοσι οκτώ, ο Euler ανακάλυψε την εντυπωσιακή ταυτότητα

   

Αυτό έκανε τον Euler να αποκτήσει αμέσως φήμη. Ο Euler και άλλοι ανέπτυξαν εναλλακτικές αποδείξεις και γενικεύσεις αυτού του «προβλήματος της Βασιλείας», και φυσικά η συνάρτηση ζ (ζήτα) είναι πλέον πολύ διάσημη. Μεταξύ πολλών άλλων διάσημων και σημαντικών ταυτοτήτων, ο Euler απέδειξε το Πεντάγωνο Θεώρημα Αριθμών και τον τύπο

   

Αυτή η φόρμουλα προϊόντος οδηγεί απευθείας στο θεώρημα των πρώτων αριθμού του Riemann, με τη σχετική υπόθεση Riemann.

Ακόμη πιο διάσημη είναι η ταυτότητα (την οποία ο Richard Feynman αποκάλεσε «σχεδόν εκπληκτικό… κόσμημα») που ενοποιεί τις τριγωνομετρικές και εκθετικές συναρτήσεις

   

Και είναι σχεδόν θαυμαστό πώς η συγκεκριμένη εξίσωση

   

συνδυάζει τις πιο σημαντικές σταθερές μαζί.

Ο Jules Henri Poincaré ίδρυσε τη θεωρία της αλγεβρικής (συνδυαστικής) τοπολογίας και μερικές φορές αποκαλείται «Πατέρας της Τοπολογίας» (τίτλος που χρησιμοποιείται επίσης για τους Euler και Brouwer). Έκανε επίσης εξαιρετική δουλειά σε πολλούς άλλους τομείς των μαθηματικών. Ήταν ένας από τους πιο δημιουργικούς μαθηματικούς όλων των εποχών και ο μεγαλύτερος μαθηματικός του κονστρουκτιβιστικού στυλ («διαισθητικός»). Δημοσίευσε εκατοντάδες εργασίες για διάφορα θέματα και θα μπορούσε να γίνει ο πιο παραγωγικός μαθηματικός ποτέ, αλλά πέθανε στο απόγειο των δυνάμεών του. Ο Πουανκαρέ ήταν αδέξιος και αδιάφορος. Όπως και ο Γκαλουά, σχεδόν του αρνήθηκαν την εισαγωγή στο Γαλλικό Πανεπιστήμιο.
Ο Πουανκαρέ είναι πιο διάσημος και σημαντικός για τα θεωρήματα τοπολογίας του, αλλά βοήθησε επίσης να τεθούν τα θεμέλια της ομολογίας. Ανακάλυψε αυτομορφικές συναρτήσεις (ένα ενοποιητικό θεμέλιο για τις τριγωνομετρικές και ελλειπτικές συναρτήσεις). Ουσιαστικά ίδρυσε τη θεωρία των περιοδικών τροχιών και έκανε σημαντικές προόδους στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων. Του πιστώνεται η μερική επίλυση του 22ου Προβλήματος του Χίλμπερτ. Αρκετά σημαντικά αποτελέσματα φέρουν το όνομά του, για παράδειγμα το περίφημο Θεώρημα της Επανάληψης του Πουανκαρέ, το οποίο φαίνεται σχεδόν να έρχεται σε αντίθεση με τον Δεύτερο Νόμο της Θερμοδυναμικής. Ο Πουανκαρέ είναι ιδιαίτερα γνωστός για την αποτελεσματική ανακάλυψη της θεωρίας του χάους και για την τοποθέτηση της εικασίας του Πουανκαρέ. Η εικασία ήταν ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά για έναν ολόκληρο αιώνα, και μπορεί να εξηγηθεί πολύ απλά χωρίς εξισώσεις. Η εικασία είναι ότι όλες οι “απλά συνδεδεμένες” κλειστές πολλαπλότητες είναι τοπολογικά ισοδύναμες με “σφαίρες”. Έχει άμεση σχέση με την πιθανή τοπολογία του σύμπαντος μας. Πρόσφατα ο Γκριγκόρι Πέρελμαν απέδειξε την εικασία του Πουανκαρέ και είναι επιλέξιμος για το πρώτο βραβείο μαθηματικών εκατομμυρίων δολαρίων στην ιστορία.

Όπως και οι περισσότεροι από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς, ο Πουανκαρέ ενδιαφέρθηκε έντονα για τη φυσική. Έκανε επαναστατικές προόδους στη δυναμική των ρευστών και στις ουράνιες κινήσεις. προέβλεψε τον χώρο Minkowski και μεγάλο μέρος της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας του Αϊνστάιν (συμπεριλαμβανομένης της περίφημης εξίσωσης E = mc2). Ο Πουανκαρέ βρήκε επίσης χρόνο για να γίνει δημοφιλής συγγραφέας της φιλοσοφίας, γράφοντας “Τα μαθηματικά είναι η τέχνη του να δίνεις το ίδιο όνομα σε διαφορετικά πράγματα”, “Ένας [άξιος] μαθηματικός βιώνει στο έργο του την ίδια εντύπωση με έναν καλλιτέχνη· η ευχαρίστησή του είναι τόσο μεγάλη και της ίδιας φύσης” και “Αν η φύση δεν ήταν όμορφη, δεν θα άξιζε να τη γνωρίζεις, και αν η φύση δεν άξιζε να τη γνωρίζεις, η ζωή δεν θα άξιζε να τη ζεις”. Με τη φήμη του, ο Πουανκαρέ βοήθησε τον κόσμο να αναγνωρίσει τη σημασία των νέων φυσικών θεωριών του Αϊνστάιν και του Πλανκ.

Ο Omar Khayyám έκανε έξυπνη δουλειά με τη γεωμετρία, αναπτύσσοντας ένα εναλλακτικό του αξιώματος του Ευκλείδη και στη συνέχεια εξήγαγε το παράλληλο αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας θεωρήματα βασισμένα στο τετράπλευρο Khayyam-Saccheri. Ο Khayyám έκανε ακόμη πιο σημαντική δουλειά στην άλγεβρα, γράφοντας ένα σημαντικό εγχειρίδιο και αναπτύσσοντας νέες λύσεις για διάφορες εξισώσεις υψηλότερου βαθμού. Ίσως ήταν ο πρώτος που ανέπτυξε το Τρίγωνο του Πασκάλ (το οποίο εξακολουθεί να ονομάζεται Τρίγωνο του Khayyám στην Περσία), μαζί με το ουσιαστικό διωνυμικό θεώρημα (ο τύπος του Al-Khayyám). Διακρίθηκε για το ότι αντλούσε τις θεωρίες του από την επιστήμη και όχι από τη θρησκεία. Παρά τα μεγάλα επιτεύγματά του στην άλγεβρα, τη γεωμετρία, την αστρονομία και τη φιλοσοφία, σήμερα ο Omar al-Khayyám είναι πιο διάσημος για την πλούσια ποίησή του (The Rubaiyat of Omar Khayyám).